Establecer la desigualdad en el corazón de una popular secuencia que converge a los poderes de $e$

Question

Sé que la secuencia

$$\displaystyle (1+kx)^\frac{1}{k},$$

donde la secuencia $\{k_i\}$ converge a cero, converge a $e^x$.

También sé que la secuencia está aumentando. ¿Cómo una demostración de que esto está aumentando? Estoy interesado en limpios maneras de establecer la desigualdad,

$(1+ax)^\frac{1}{a} \ge (1+bx)^\frac{1}{b}$ if $b \ge a$

en lugar de la secuencia sí mismo.

Answer 1

Esto puede demostrarse utilizando la desigualdad de Bernoulli:

$$(1+y)^r \ge 1 + ry \ \text{ if } r \ge 1 \ \text{ and } y \gt -1$$

Que $b = au$ donde $u \ge 1$, entonces tienen

$$ (1+ ax)^{\frac{b}{a}} = ( 1 + ax)^{u} \ge 1 + aux = 1 + bx$$

por lo tanto

$$ (1 + ax)^{\frac{1}{a}} \ge (1 + bx)^{\frac{1}{b}}$$

Answer 2

Suponga que $x > 0$. Queremos mostrar que la función de $f$ definido por $$ f(t) = (1 + tx)^{1/t} , \;\; t > 0, $$ está disminuyendo. Esto es suficiente para mostrar que $\ln f(t)$ está disminuyendo. Ahora $$ \ln f(t) = \frac{{\ln (1 + tx)}}{t}, $$ y $$ \frac{{\rm d}}{{{\rm d}t}} \frac{{\ln (1 + tx)}}{t} = \frac{{xt/(1 + tx) - \ln (1 + tx)}}{{t^2 }}. $$ Así que queremos $$ \frac{{xt}}{{1 + tx}} \le \ln (1 + tx), $$ o $$ \frac{{u}}{{1 + u}} \le \ln (1 + u), \;\; u > 0. $$ Desde ambos lados de esta desigualdad se $0$$u=0$, es suficiente para mostrar que $$ \frac{{\rm d}}{{{\rm d}u}}\frac{u}{{1 + u}} \le \frac{{\rm d}}{{{\rm d}u}}\ln (1 + u). $$ De hecho, $$ \frac{{\rm d}}{{{\rm d}u}}\frac{u}{{1 + u}} = \frac{1}{{(1 + u)^2 }} \le \frac{1}{{1 + u}} = \frac{{\rm d}}{{{\rm d}u}}\ln (1 + u). $$