¿Cómo solucionarlo?

Question

Cómo resolver $\sin x \cdot\sin 2x\cdot\sin 3x + \cos x\cdot\cos 2x\cdot\cos 3x =1$

No sé la solución para esto. ¡Ayúdame!

¡Gracias a todos!

Answer 1

El uso de las "múltiples ángulos" fórmulas es probablemente la manera más segura para establecer las soluciones de esta ecuación; sin embargo, se requiere de una buena cantidad de manipulaciones algebraicas. También podemos decir algo acerca de las soluciones mediante la investigación de las propiedades de los términos en la ecuación

$$( \ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \ ) \ + \ ( \ \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \ ) \ = \ 1 \ .$$

Algo a considerar es que, tanto en términos de la suma tienen el mismo período, ya que los factores individuales tienen períodos de $ \ 2 \pi \ , \ \pi \ , \ \text{and} \ \frac{2 \pi}{3} \ . $ El período de cada término producto es $ \ \pi \ $ , ya que tanto $ \ \sin x \ \ \text{and} \ \ \sin 3x \ $ (o $ \ \ \cos x \ \ \text{and} \ \ \cos 3x \ $ ) completar un número impar de la mitad de los ciclos en intervalos de longitud, la restauración de cada producto a la misma paridad en $ \ x = \pi \ $ que tenía en $ \ x = 0 \ . $ Tan sólo necesitamos concentrarnos en el presente y en el comportamiento de los términos en el intervalo de $ \ [ \ 0 \ , \ \pi \ ) \ . $

El primer término tiene ceros en todos los múltiplos de $ \frac{\pi}{2} \ \text{and} \ \frac{\pi}{3} \ $ , mientras que el segundo término tiene su ceros en todos los impares múltiplos de $ \frac{\pi}{6} \ , \ \frac{\pi}{4} \ \text{and} \ \frac{\pi}{2} \ . $ al comprobar el signo de cada factor, tanto en términos de productos, nos encontramos con que el "producto de los senos" es positivo en $ \ ( \ 0 \ , \ \frac{\pi}{3} \ ) \ \ \text{and} \ \ ( \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{2 \pi}{3} \ ) \ , $, mientras que el "producto de los cosenos" es positivo en $ \ ( \ 0 \ , \ \frac{\pi}{6} \ ) \ , \ ( \ \frac{\pi}{4} \ , \ \frac{\pi}{2} \ ) \ , \ ( \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3 \pi}{4} \ ) \ , \ \text{and} \ \ ( \ \frac{5 \pi}{6} \ , \ \pi \ ) \ . $ Ambos términos, entonces, son positivos sólo en $ \ ( \ 0 \ , \ \frac{\pi}{6} \ ) \ , \ ( \ \frac{\pi}{4} \ , \ \frac{\pi}{3} \ ) \ , \ \text{and} \ \ ( \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{2 \pi}{3} \ ) \ . \ $ [Hay, por supuesto, la correspondiente "windows" en cualquier otro intervalo periódico.] Esto es importante para lo que sigue.

Como los términos son productos de seno y coseno funciones, es el caso de que

$$-1 \ \le \ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \ \le \ +1 \ , $$

y lo mismo para el producto de los cosenos. Pero podemos ser más específica acerca de la gama de estos términos en los intervalos donde ambos son positivos.

En $ \ x = 0 \ , $ $ \ \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \ $ claramente es igual a 1 y cae a cero en $ \ x = \frac{\pi}{6} \ $ , ya que los tres factores están disminuyendo. En el mismo intervalo de tiempo, los tres factores de $ \ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \ $ están aumentando y

$$0 \ \le \ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \ \le \ (\sin \frac{\pi}{6}) \cdot (\sin \frac{\pi}{3}) \cdot (\sin \frac{\pi}{2}) \ \le \ \frac{\sqrt{3}}{4} \ \approx \ 0.433 \ . $$

Por lo que podemos estar razonablemente satisfechos de que la única solución a la ecuación en el intervalo de $ \ [ \ 0 \ , \ \frac{\pi}{6} \ ] \ $ $ \ x = 0 \ . \ $ [puede requerir un poco más de trabajo -- breve de hacer un gráfico para estar completamente satisfecho de que esto es así.]

En el intervalo de $ \ ( \ \frac{\pi}{4} \ , \ \frac{\pi}{3} \ ) \ , \ $, se nota que

$$0 \ \le \ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \ \le \ (\sin \frac{\pi}{3}) \cdot (\sin \frac{\pi}{2}) \cdot (\sin \frac{3 \pi}{4}) \ \le \ \frac{\sqrt{6}}{4} \ \approx \ 0.612 \ $$

y

$$0 \ \le \ \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \ \le \ (\cos \frac{\pi}{4}) \cdot (\cos \frac{2 \pi}{3}) \cdot (\cos \pi) \ \le \ \frac{\sqrt{2}}{4} \ \approx \ 0.354 \ . $$

Por lo tanto, no hay ninguna perspectiva de que la suma de estos términos puede ser igual a 1 en este intervalo. (El hecho de que el individuo en términos de cambio en opuestas direcciones en el intervalo de garantías de este. Y, en cualquier caso, los productos no alcanzar los indicados límites superior.)

Finalmente, en $ \ ( \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{2 \pi}{3} \ ) \ , \ $ se puede concluir que la

$$0 \ \le \ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \ \le \ (\sin \frac{\pi}{2}) \cdot (\sin \frac{4 \pi}{3}) \cdot (\sin \frac{3 \pi}{2}) \ \le \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ \approx \ 0.866 \ $$

y

$$0 \ \le \ \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \ \le \ (\cos \frac{2 \pi}{3}) \cdot (\cos \frac{4 \pi}{3}) \cdot (\cos 2 \pi) \ \le \ \frac{1}{4} \ . $$

Un poco más cerca de la comprobación es necesaria para demostrar que el "producto de los senos" queda muy por debajo de la cota superior de la que aquí se sugiere, y que este producto alcanza su máximo y luego disminuye antes de que el "producto de los cosenos" alcanza su límite superior. Así que, de nuevo, la suma de los términos no llega a 1 en este intervalo.

Por lo tanto, en todo el intervalo de $ \ [ \ 0 \ , \ \pi \ ) \ , \ $ la única solución de la ecuación es $ \ x = 0 \ . $ Esto significa que el conjunto de todas las soluciones de la ecuación contiene sólo todos los múltiplos enteros de $ \ \pi \ . $ Un gráfico de cada término y de su suma se presenta a continuación.

El naranja de la curva representa el "producto de los senos", la curva de color verde, el "producto de los cosenos", y la curva azul, su suma.

Answer 2

La cuestión puede resolverse con la ayuda del cálculo.

$f(x) = \sin x\sin2x\sin 3x + \cos x\cos 2x\cos 3x$

$\implies (1/2)(\cos x -\cos3x)\sin3x +(1/2)(\cos3x +\cos x)\cos3x.$

Una vez más, la simplificación

$\implies (1/4)(\sin4x - \sin2x - \sin6x + 1+\cos4x +\cos4x+ \cos x).$

Encontrar el máximo de $f(x)$ da $1$ $x =0$ (por inspección).

También el período de la función es de LCM de $\pi$, $\pi/2$ & $\pi/3$ $\pi$.

Por lo tanto, es la solución general de $f$

$n\pi$ for $n\in I$.

Answer 3

Mi solución:

I. $\sin x\sin2x\sin 3x<0=>$ $ 1 < 1 - \sin x\sin2x\sin 3x = \cos x\cos 2x\cos 3x\leq 1$ falso!

II. $\sin x\sin2x\sin 3x = 0 => \cos x\cos 2x\cos 3x\ = 1 =>... x=n\pi, n$ entero

III. $\sin x\sin2x\sin 3x>0=>$ $ 1 = |\sin x\sin2x\sin 3x + \cos x\cos 2x\cos 3x|\leq$ $ |\sin x\sin2x\sin3x| + |\cos x\cos 2x\cos 3x|=$ $ |\sin x\sin2x||\sin3x| + |\cos x\cos 2x||\cos 3x|\leq$ $ \leq|\sin x\sin 2x| + |\cos x\cos 2x| =\pm\sin x\sin2x \pm \cos x\cos 2x$= $\pm\cos (x\pm2x)\leq 1$.

¡un) $\cos x =\pm1 =>\sin x=0$ falso!

¡b) $\cos 3x =\pm1 =>\sin 3x=0$ falso!

Answer 4

Deje $\mathbf v(x) = (\sin x \cdot \sin 2x, \cos x \cdot \cos 2x) \in \mathbb R^2$. Calcular:

$$\begin{align} |v|^2 &= \sin^2 x \cdot \sin^2 2x + \cos^2 x \cdot \cos^2 2x \\ &= (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^2 2x + \cos^2 2x) - \sin^2 x \cdot \cos^2 2x - \sin^2 2x \cdot \cos^2 x \\ &= 1 - \sin^2 x \cdot \cos^2 2x - \sin^2 2x \cdot \cos^2 x \le 1. \end{align}$$

Deje $\mathbf u(x) = (\sin 3x, \cos 3x) \in \mathbb R^2$. Luego tenemos a $|\mathbf u(x)|=1$. Por Cauchy–Schwarz desigualdad:

$$\begin{align} \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x + \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x &= \mathbf u(x) \cdot \mathbf v(x) \\ &\le |\mathbf v(x)| \\ &\le 1,\end{align}$$

así, para la igualdad a la espera, en necesario (pero no necesariamente suficiente)$|\mathbf v(x)| =1$, lo que significa que ambas de estas ecuaciones se debe sostener: $$\begin{align} \sin x \cdot \cos 2x &= 0 \\ \sin 2x \cdot \cos x &= 0. \end{align}$$

Por $\pi$-periodicidad de la expresión en $x$ (desde $\sin (n(x+\pi)) = (-1)^n \sin (nx)$ y de manera similar para el coseno), es suficiente para encontrar las soluciones a este en el intervalo de $x \in [0, \pi)$. Obviamente, $x=0$ es una de tales soluciones. Para todos los otros $x$ en este intervalo, $\sin x \ne 0$, por lo que necesitamos $\cos 2x =0$ a satisfacer la primera ecuación. Esto tiene dos soluciones en este intervalo, es decir,$x \in \{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \}$, ninguno de los cuales se satisface la segunda ecuación.

Desde que era una condición necesaria pero no suficiente, usted necesita para volver atrás y comprobar que $x=0$ satisface la ecuación (que es trivial). Con eso fuera del camino, las soluciones son exactamente $x = n \pi$ por entero $n$.

_{Nota: Esta respuesta es muy interesante, sobre todo porque resulta más general de la realidad, es decir, $\sin \theta \sin \phi \sin \psi + \cos \theta \cos \phi \cos \psi \le 1$ para cualquiera de los ángulos $\theta,\phi,\psi$, y el método puede ser extendido a más productos y da las condiciones necesarias para ser revisado por la igualdad, que son fáciles de trabajar. Claramente, es más complicado de lo que es estrictamente necesario para este problema.}

Answer 5

$$\sin x \sin 2x \sin 3x + \cos x \cos 2x \cos 3x =1$$

Tenemos $\sin x \sin 3x = \frac{\cos2x-\cos 4x}2$ $\cos x \cos 3x = \frac{\cos 2x+\cos 4x}2$ de producto-suma de las identidades. El uso de este obtenemos la ecuación original a la forma

$$\sin2x (\cos2x-\cos4x)+\cos2x(\cos2x+\cos4x)=2 \tag{1}$$ Sabemos que
$\sin 2x=2\frac{\sin x}{\cos x}\cos^2x = 2\frac{\tan x}{1+\tan^2x}$
$\cos 2x = 2\cos^2x-1 = \frac2{1+\tan^2x}-1=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}$
$\cos 4x = \cos^4x - 6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x = \frac{1-6\tan^2x+\tan^4x}{(1+\tan^2x)^2}$
(Esto es similar a la de Weierstrass de sustitución. Yo también estaba tratando de utilizar la sustitución de $2x=a$ en (1) y simplificar la expresión, pero yo no tener éxito con esta ruta de acceso).

Con la sustitución de $t=\tan x$ tenemos $$\frac{2}{1+t^2} \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{1-6t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\right)+ \frac1{1+t^2} \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{1-6t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\right)=2$$ $$2t((1-t^4)-(1-6t^2+t^4))+(1-t^4)+(1-6t^2+t^4)=2(1+t^2)^3$$ $$2t(6t^2-2t^4)+2-6t^2=2(1+3t^2+3t^4+t^6)$$ $$t(6t^2-2t^4)+1-3t^2=1+3t^2+3t^4+t^6$$ $$t^6+2t^5+3t^4-6t^3+6t^2=0$$ $$t^2(t^4+2t^3+3t^2-6t+6)=0$$

Podríamos intentar solucionar $t^4+2t^3+3t^2-6t+6=0$ por algunos de los métodos para resolver ecuaciones de cuarto grado. Esto es un montón de trabajo que hacer a mano, pero se puede hacer en un principio.

Tratemos de t^4+2^3+3t^2-6t+6 en WolframAlpha. WA dice que no existen verdaderas raíces de esta ecuación.

Tratemos de si podemos demostrar que esto no tiene raíces reales, sin depender de un software.

$t^4+2t^3+3t^2-6t+6=t^4+2t^2+t^2+ 3(t^2-2t+1)-t^2=t^2(t+2)t+3(t-1)^2$ $\Rightarrow$ positivo para $t>0$ $t<-2$

Para $t\in[-2,0]$ tenemos $0\le t^2\le 4$, por lo tanto $t^3\ge 4t$$t^4+2t^3+3t^2-6t+6\ge 3t^2-2t+6$. Para el polinomio cuadrático que hemos discriminante igual a $D=4-4\cdot 6\cdot 3 <0$, por lo que este no tiene raíces reales y así tenemos $$t^4+2t^3+3t^2-6t+6\ge 3t^2-2t+6 \ge 0 \qquad \text{for }t\in[0,2].$$

Para $f(t)=t^4+2t^3+3t^2-6t+6$ tenemos $f'(t)=4t^3+6t^2+6t-6=4(t^3+\frac32t^2+\frac32t-\frac32)=4[(t+\frac12)^3]$.

Así que tenemos $t=0$ como la única solución, que los rendimientos de $\tan x=0$, lo que da $x=k\pi$.