Ejercicio de sumas divergentes: $\lim 1-2+4-6+9-12+16-20+\ldots-\ldots$

Question

Estoy tratando de dar sentido a algunos ejercicios (supuestamente) sencillos de suma divergente. Un ejemplo que no puedo resolver. Primero asumo la secuencia de coeficientes binomiales $ \{ b_k = \binom k2 \}_{k=2\to\infty}=\{1,3,6,10,15,...\}$
Entonces, para asignar un valor significativo a la suma alternada $ S= 1-3+6+10.... $ Calculo la suma de Abel

$ \qquad S = \lim_{x \to 1} 1-3x+6x^2-10x^3+...-... = {1 \over (1+x)^3 } = 1/8 $ (Abel)

Pero quiero proceder un paso más. La secuencia de sumas parciales se puede denotar como

$ \{ c_k \}_{k=0\to\infty}=\{1,-2,4,-6,9,-12,16,-20,...\} $

P - mi pregunta es : cuál es la suma $ T = 1-2+4-6+9... $ ?

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He intentado dos enfoques, pero estoy perdido. La función generadora es simplemente $ 1/(1+x)^3/(1-x) $ pero aquí no puedo dejar que x se acerque a 1, por lo que la simple aplicación de la suma de Abel es imposible. También la suma de Euler parece no converger; en su lugar obtengo sumas parciales crecientes como k/16 para la k'sima suma parcial.

Por otro lado, observo, que los coeficientes están cerca de los cuadrados, por lo que si considero la alternancia $\zeta$ (normalmente llamado Dirichlet- $\eta$ )

$ \qquad \qquad \begin{eqnarray} X &=& 1 - 2.25 + 4 - 6.25 + 9 - 12.25 + ... \\ &=&( 4 - 9 + 16 - 25 + ... - ...)/4 \\ &=& (1-\eta(-2))/4 \\ &=& (1-0)/4 = {1 \over 4} \end{eqnarray}$

entonces en T Tenía sólo cada segundo coeficiente $1/4$ por encima de la del $\eta$ -serie en X y posiblemente podría ir algo así como

$ \qquad \qquad \begin{eqnarray} T &=& 1 - (2.25-0.25) + 4 - (6.25-0.25) + ... - ... \\ &=& X + 0.25*\zeta(0) \\ &=& X-1/8 = {1 \over 8} \end{eqnarray}$

Pero seguramente esto es sólo un esbozo de cómo podría acercarme a una solución. ¿Cómo podría proceder realmente?

[actualización]: Una idea más fue hacer uso de la suma de reordenación. Los coeficientes $c_k$ pueden verse como filas de la siguiente matriz:

$\qquad \small \begin{array} {rrrrr} 1 & . & . & . & . & . &\ldots\\ -3 & 1 & . & . & . & . \\ 6 & -3 & 1 & . & . & . \\ -10 & 6 & -3 & 1 & . & . \\ 15 & -10 & 6 & -3 & 1 & . \\ -21 & 15 & -10 & 6 & -3 & 1 & \ldots \\ ... & ... \\ \end{array} $

para que todas las columnas se evalúen como $1/8$ debido a la suma de Abel. Si añado todas esas columnas, tendría que escribir $\zeta(0)*1/8 $ y evaluar $T=-1/16$ (Q&D) ahora. Pero todo esto es a tientas, porque ni siquiera reflejo la aplicación infinita de la reducción por filas al evaluar las columnas...

[actualización2]: Hmm. He jugado con los recíprocos de la serie. Acabo de hacer las divisiones "paper&pen" y obtuve:
$ \small \qquad \qquad 1 \qquad : 1-3x+6x^2-10x^3+15x^4-21x^5+...-...=1+3x+3x^2+1x^3=(1+x)^3=|_{x=1}8 $
y
$ \small \qquad \qquad 1 \qquad : 1-2x+4x^2-6x^3+9x^4-12x^5+...-...=1+2x-2x^3-1x^4=(1+x)^3(1-x)=|_{x=1}0 $
Así que esto es también inmediatamente lo que señaló Lubos. Bien por mi intuición, espero que este modelo no sea demasiado engañoso en otros casos evidentes....

Answer 1

Estimado Gottfried, como observas correctamente, la suma es la expansión de Taylor de $$ \frac{1}{(1+x)^3 (1-x)} $$ para $x=1$ . Esta función tiene un polo en $x=1$ , por lo que el resultado es una divergencia genuina, el número estándar "infinito" (sin especificación de la fase) que es inverso a cero. El hecho de que algunas sumas aparentemente divergentes tengan valores finitos no significa que todas ellas tengan valores finitos.

Su segundo método es ilegítimo porque agrupa los valores vecinos de $n$ - los exponentes en las potencias de $x$ - lo que significa que la justificación no es robusta bajo cualquier deformación infinitesimal de los parámetros. Tenga en cuenta que no era realmente legítimo que usted escribió $1+1+1+\dots = \zeta(0)$ . De hecho, $\zeta(0)-n$ para cualquier número entero $n$ - y, de hecho, no sólo enteros- estarían igualmente (in)justificados. De hecho, ninguno de ellos da el resultado correcto.

Es un error pensar que $1+1+1+\dots = -1/2$ "siempre" es cierto. Sólo es cierto si los términos $1$ se asocian a los valores de $n$ que pasan por enteros positivos. Pero si van sobre enteros no negativos, el resultado sería $+1/2$ y así sucesivamente.

Answer 2

Tengo una respuesta, aplicando un principio del que aún no sé hasta qué punto es aplicable en general o si lo es. Supone, que en la medida en que una serie dada puede ser expresada como combinación lineal de series formales zeta- y (Dirichlet)-eta, entonces la evaluación de la serie puede ser tomada por la evaluación de la misma combinación de valores zeta y eta, incluso si son divergentes (posiblemente con la excepción de la zeta en 1).

Así que esto daría el siguiente resultado regularizado:

Denote la serie original por $T$ , entonces dejemos que $$ f(s) = {1\over 1^s }-{2\over 2^s}+{4\over 3^s}-{6\over 4^s}+{9\over 5^s}- \cdots + \cdots \tag 1$$ por supuesto tratando de justificar $ T = \lim_{s \to 0} f(s)$ .

Esto es convergente para $s \gt 3$ . Para estos casos podemos descomponer $$ \begin{array}{rcrll} 8 f(s) &=& & {8\over 1^s }-{16\over 2^s}+{32\over 3^s}-{48\over 4^s}+{72\over 5^s}- \cdots + \cdots \\ &=& 1(&{1\over 1^s }+{1\over 2^s}+{1\over 3^s}+{1\over 4^s}+{1\over 5^s}+ \cdots + \cdots &)\\ & & + 1(&{1\over 1^s }-{1\over 2^s}+{1\over 3^s}-{1\over 4^s}+{1\over 5^s}- \cdots + \cdots&) \\ & & + 4(&{1\over 1^s }-{2\over 2^s}+{3\over 3^s}-{4\over 4^s}+{5\over 5^s}- \cdots + \cdots & ) \\ & & + 2(&{1\over 1^s }-{4\over 2^s}+{9\over 3^s}-{16\over 4^s}+{25\over 5^s}- \cdots + \cdots & ) \\ &\underset{s \gt 3}=& &1 \zeta(s)+1\eta(s)+4\eta(s-1)+2\eta(s-2) \end{array} \\ \phantom{dummy } \\ f(s) \underset{s \gt 3} = {\zeta(s)+\eta(s)\over 8} + {\eta(s-1)\over 2} + {\eta(s-2)\over 4} \qquad \qquad \qquad \tag 2 $$ y a partir de esto, asumiendo que es regularizable para establecer $s=0$ $$ T = f(0) \underset{\mathcal Z}{=} {\zeta(0)+\eta(0)\over 8} + {\eta(-1)\over 2} + {\eta(-2)\over 4} = 0 + {1\over4}\cdot{1\over 2} + 0 = {1\over 8} \tag 3$$ $\qquad \qquad $ donde " $\mathcal Z$ " significa zeta-regularización

Esta es seguramente una buena consideración y un esquema general, sin embargo no sé de qué teoremas generales para series divergentes puedo extraer esto como receta explícita (y para qué casos, posiblemente limitados).

Answer 3

Permítanme intentar dar un método más para el cálculo de esta serie divergente, que recurre a $\zeta$ -La regularización de la función sólo en el último paso.

En primer lugar, recordemos que las sumas finitas $$ \mathcal T_p(N) \equiv \sum_{m=1}^N (-1)^{m-1} m^p = 1-2^p+3^p+\ldots \pm N^p $$ puede calcularse como las derivadas en el origen de la función generadora $$ G_N(z) =\sum_{p=0}^\infty \mathcal T_p(N) \frac{z^p}{p!}=\sum_{m=1}^N(-1)^{m-1}\sum_{p=0}^\infty \frac{(mz)^p}{p!}= \sum_{m=1}^N(-1)^{m-1}e^{mz}=\frac{1+(-1)^{N+1} e^{Nz}}{1+e^{-z}}, $$ En particular $$\begin{aligned} \mathcal T_1(N)=&\ 1-2+3-4+\ldots\pm N=\frac{(-1)^{N+1}(2N+1)-1}{4}, \\ \mathcal T_2(N)=&\ 1-4+9-16+\ldots\pm N^2=\frac{(-1)^{N+1}}{2}N(N+1). \end{aligned}$$ Además, el límite formal $N\to\infty$ da la suma de Euler de la serie divergente correspondiente: $$ s_p=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{m-1}m^p=1-2^p+3^p+\ldots $$ se obtienen a partir de la función generadora $$ G(z)=\sum_{p=0}^\infty s_p \frac{z^p}{p!}=\frac{1}{1+e^{-z}}, $$ que da $$\begin{aligned} s_0=&\ 1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}\ ,\\ s_1=&\ 1-2+3-4+\ldots=\frac{1}{4}\ ,\\ s_2=&\ 1-4+9-16+\ldots=0. \end{aligned} $$ Después de estos preparativos obtenemos, $$ S=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}(s_1-s_2)=\frac{1}{8}, $$ y $$ T=\sum_{n=2}^\infty \sum_{l=2}^n (-1)^l \frac{l(l-1)}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\left( \mathcal T_1(n)-\mathcal T_2(n)\right)=\frac{1}{8}\sum_{n=1}^\infty((-1)^{n-1}-1)=\frac{1}{8}. $$ En el último paso hemos utilizado tanto ese $s_0=1/2$ y $\zeta(0)=-1/2$ .

Answer 4

El suma elemental de Ramanujan de $1-2+4-6+9-\cdots$ es 1/4 y la serie pertenece a la clase $R=2$ .

En general, para $f(x)=b(x)/(1-x)$ y $b(x)$ Abel sumable, la suma de $f(1)$ es $-b'(1) + b(1)/2$ con $b'(x)=xdb(x)/dx$ .

Edición 1. Verificación. $$ \frac{1}{(1+x)^3(1-x)}=\frac{x}{8(1-x)}+\frac{8+7x+4x^2+x^3}{8(1+x)^3}~. $$ El primer término del lado derecho corresponde a $$ \frac{1}{8}(1+1+1+\cdots)=-\frac{1}{16} $$ y el segundo término es Abel sumable a $5/16$ (el valor en $x=1$ ). La linealidad implica que la suma es $-1/16 + 5/16 = 1/4$ .

Editar 2. La serie desplazada $0+1-2+4-\cdots=1/8$ .

La serie desplazada corresponde a $x$ veces la serie anterior, por lo que $$ \frac{x}{(1+x)^3(1-x)}=\frac{x}{8(1-x)}-\frac{x}{8}+\frac{8x+7x^2+4x^3+x^4}{8(1+x)^3}~. $$ Como antes, la linealidad implica que la suma es $-1/16-1/8+5/16=1/8$ .