Transformada inversa de Laplace de exponenciales y funciones gamma incompletas

Question

Llegué a este problema final para ser resuelto. Me gustaría entender una manera de abordar este problema:

Transformación inversa de Laplace de

$$A(s)=\frac{1}{s}\exp{(s^{\beta}z)}\Gamma(0,s^{\beta}z)$$

$$B(s)=\frac{1}{s}-\frac{s^{\beta}}{s}\exp{(s^{\beta}z)}\Gamma(0,s^{\beta}z)$$

donde $z$ es un número complejo y $\beta<1$ un número real positivo.

No encuentro una forma fácil de encontrar una solución analítica, si es que existe.

Answer 1

\begin {Ecuación} A(s)= \frac {1}{s} e^{s^ \beta z} \Gamma (0, s^ \beta z)= \frac {1}{s} \int_0 ^{+ \infty } \frac {e^{-u}}{s^ \beta z+u} du \end {ecuación} Ahora podemos escribir: \begin {Ecuación} e^{-u}= \sum_ {k=0}^{+ \infty } \frac {(-u)^k}{k!} \end {ecuación} Entonces \begin {Ecuación} A(s)= \frac {1}{s} \int_0 ^{+ \infty } \sum_ {k=0}^{+ \infty } \frac {(-u)^k}{k!(s^ \beta z+u)} du= \frac {1}{s} \sum_ {k=0}^{+ \infty } \frac {1}{k!} \int_0 ^{+ \infty } \frac {(-u)^k}{s^ \beta z+u} du= \sum_ {k=0}^{+ \infty } \frac {(-s^ \beta z)^k}{s k!} \int_ {0}^{+ \infty } \frac {x^k}{1+x} dx \end {Ecuación} Utilizando la transformada inversa de Laplace \begin {ecuación} a(t)=L^{-1}{A(s)\}= \sum_ {k=0}^{+ \infty } \frac {t^{-k \beta } (-z)^k}{k! \Gamma (1-k \beta )} \int_ {0}^{+ \infty } \frac {x^k}{1+x} dx \end {ecuación} Como ha señalado Sary, en mi cálculo anterior cometí un error.La integral converge a $\frac{-\pi}{\sin{\pi k}}$ es y sólo si el $k$ es un número real que se encuentra en el intervalo (-1,0). En mi cálculo anterior elegí un contorno rectangular tal que $u= u_r+i u_i$ y elegí $u_i$ Desgraciadamente, al hacer esto, la integral a lo largo del lado del rectángulo converge sólo si suponemos que $k$ oscila entre -1 y 0. Gracias Sary. \begin {ecuación} b(t)=L^{-1}\{B(s)\}=1- \frac {t^{-(1+ \beta )}}{ \Gamma (- \beta )} \star a(t) \end {ecuación} donde $\star$ es la convolución. ¿Ahora podemos decir más sobre la suma? No estoy familiarizado con el camino del contorno de Hankel, así que tal vez esta es la forma correcta de encontrar una solución compacta.

Answer 2

Lo siguiente no es realmente una respuesta, sino que era demasiado largo para un comentario; tu función es desordenada y debo admitir que no quiero entrar en detalles. Pero teóricamente podrías proceder de la siguiente manera. Partir de la misma expresión que dio Upak : $$A(s) = \frac1s \int_0^\infty \frac{e^{-u}{\rm d}u}{s^\beta z + u}.$$ Supongamos al principio para simplificar que $z$ no es un real no positivo (por lo que el denominador anterior nunca desaparece para $\Re(s)>0$ .) Tienes que $A(s)$ permanece acotado para, digamos, $\Re(s) \geq 1$ . La transformada inversa de Laplace es, para $\sigma \geq 1$ (decir) y $t\in{\bf R}$ , $$a(t) = \frac1{2\pi i}\int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} A(s) e^{st}{\rm d} s = \frac1{2\pi i}\int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} \int_0^\infty \frac{e^{-u}{\rm d}u}{s^\beta z + u} \frac{e^{st}{\rm d}u}{s}$$ Aquí puedes intercambiar integrales. Hay que calcular $$W(t, u) = \frac1{2\pi i}\int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty}\frac{e^{st}{\rm d}s}{s(s^\beta z + u)}$$

Esto se hace desplazando los contornos a la izquierda o a la derecha, según el signo de $t$ (a la derecha cuando $t<0$ , a la izquierda cuando $t>0$ para que utilice el decaimiento de $e^{st}$ ). Aquí puede tener un poste cuando $s^\beta z + u = 0$ (o no, según $u$ y $z$ !). Pero lo más importante es que tienes una rama cortada en $s=0$ . De manera que al desplazar el contorno hacia la izquierda, se debe ir hacia un contorno de esta forma (a Contorno de Hankel )

Ver también ese archivo PDF en el $\Gamma$ función . Lo que se obtiene es otra expresión integral para $W(t, u)$ . Puedes pensar que esto no sirve para nada, pero la integral resultante puede depender en $u$ y $t$ de una manera más agradable, dándole una visión del comportamiento asintótico, por ejemplo.

Una referencia sobre el análisis de singularidades es el capítulo VI de la última obra de Flajolet y Sedgewick "Analytic Combinatorics", pero ellos trabajan las cosas específicamente con el análisis asintótico de objetos combinatorios en mente.