Convergencia débil de la integral estocástica

Question

Considere una secuencia de procesos $Z_t^n$ y un procoss $Z_t$ , $t\in[0,1]$ de manera que todos los $\int_0^1 Z^n dW$ y $\int_0^1 Z dW$ son martingalas. Supongamos que $$\int_0^1 Z_t^n \mathrm dW_t \xrightarrow{d} \int_0^1 Z_t \mathrm dW_t$$ en la distribución. ¿Tenemos $$\int_0^1 (Z_t^n)^2 \mathrm dt \xrightarrow{d} \int_0^1 Z_t^2 \mathrm dt$$ en la distribución? Intuitivamente, esto debería ser cierto ya que la variación cuadrática es sólo un funcional continuo de la martingala. Pero no sé cómo demostrarlo. ¿Tiene alguna pista para mí? En caso de que la afirmación sea falsa, ¿bajo qué condiciones tenemos una convergencia débil de la variación cuadrática?

Además, me interesarían las siguientes ampliaciones de la pregunta: ¿Se mantiene este resultado para martingalas generales que convergen en la distribución? ¿Se cumple también lo contrario?

Answer 1

La respuesta a su primera pregunta es negativa.

La mejor manera de responder a una pregunta es plantearla de forma adecuada.

Así que abordemos una cuestión más sencilla y natural:

Supongamos que $$ \int_0^1 Z_t dW_t \overset{d}{=} \int_0^1 Y_t dW_t. $$ ¿Es cierto que $$ \int_0^1 Z_t^2 dt \overset{d}{=} \int_0^1 Y_t^2 dt?\tag{1} $$

Está claro que si la respuesta a esta pregunta es negativa, también lo es para su pregunta.

Ahora toma $Z_t \equiv 1$ para que $\int_0^1 Z_t dW_t = W_1$ es gaussiano estándar. Para un proceso $Y$ la igualdad (1) significa que $Y$ es determinista. Por lo tanto, para construir un contraejemplo a esta afirmación, deberíamos encontrar un proceso no determinista $Y$ tal que $\int_0^1 Y_t^2 dt$ es gaussiano estándar. En otras palabras, debemos encontrar una variable aleatoria normal estándar tal que el integrando en su representación Itô sea no determinista. Y esto es muy fácil de construir: $$ \xi = f(W_1) \text{ with } f(x) = x\left(\mathbf{1}_{[-1,1]}(x)- \mathbf{1}_{\mathbb R\setminus [-1,1]}(x)\right). $$ Está claro que $\xi\simeq N(0,1)$ . Pero el integrando $Y$ en $$ \xi = \int_0^1 Y_t dW_t $$ es no determinista. De hecho, si fuera el caso, la variable aleatoria $$ \xi_s = \mathsf E\left[\xi\mid \mathcal F^W_s\right] = \mathsf E\left[f(W_s + (W_1 - W_s)\mid \mathcal F_s^W\right] = \mathsf E\left[f(x + (W_1 - W_s))\right]\big|_{x = W_s} $$ tendría una distribución gaussiana, pero no es así.

También se puede utilizar la fórmula de Clark: $Y_s = \mathsf E[D_s f(W_1)\mid \mathcal F^W_s]$ , donde $D_s$ es la derivada de Malliavin. Usando la regla de la cadena, $$ Y_s = \mathsf E[ f'(W_1) D_s W_1\mid \mathcal F^W_s] = \mathsf E \left[f'(W_s + (W_1 - W_s))\mid \mathcal F^W_s\right] \\ = \mathsf E\left[f'(x + (W_1 - W_s))\right]\big|_{x = W_s} = g(W_s), $$ donde $f'(x) = \mathbf{1}_{[-1,1]}(x) - \mathbf{1}_{\mathbb R\setminus [-1,1]}(x)$ . Es fácil comprobar que $g$ no es constante.

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Parece que bajo el supuesto de que $$ \int_0^\cdot Z^{(n)}_t dW_t \overset{d}{\longrightarrow} \int_0^\cdot Z_t dW_t $$ como procesa , $$ \int_0^\cdot \left(Z^{(n)}_t\right)^2 dt\overset{d}{\longrightarrow} \int_0^\cdot Z^2_t dt $$ como procesos. Escriba si está interesado en esto, entonces consultaré los libros que tengo.