Interpolación y Taylor ' teorema s

Question

Me acaba de responder a una pregunta de donde he utilizado el hecho de que un $(n+1)$-veces (de forma continua) función derivable $f$ interpolados por un $n$th grado del polinomio $p(x)$ a través de la $n+1$ $x_0,...,x_n$ tiene el error dado por $$f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n{(x-x_i)}$$ This seems eerily similar to Taylor's Theorem $$f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ for some $\xi\in (a,x)$.

La página de la wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation#Interpolation_error dice que "el resto término en la forma de Lagrange del teorema de Taylor es un caso especial de la interpolación de error cuando todos los nodos de interpolación $x_i$ son idénticas", pero el artículo es de los sitios para que se https://www.math.okstate.edu/~binegar/4513-F98/4513-l16.pdf donde puedo encontrar ", Aunque esta fórmula para el error es algo que recuerda el término de error asociado con un enésimo orden de expansión de Taylor, este teorema tiene poco que ver con expansiones de Taylor."

Obviamente, la afirmación dada en el artículo de wikipedia no está justificada, pero no me inclino a despedir un notable parecido con la mera casualidad.

La prueba es como sigue: escribir $R(x)$ durante el resto en $x$ y dejar $$g(t)=R(t)-\frac{R(x)}{W(x)}W(t),\;\;W(t)=\prod_{i=0}^n{(t-x_i)}$$ Then $g(x)=0$ - take $x\in (x_0,x_n)$ - and $g(x_i)=0,\;\;i=0,...,i=n$ because $R(x_i)=0$. Thus it has $(n+2)$ zeros in the interval and by repeated application of Rolle's Theorem there exists a $\xi$ such that $$g^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-\frac{R(x)}{W(x)}(n+1)!=0$$ a partir de la cual el error de la fórmula de la siguiente manera.

Podemos hacer lo mismo con la fórmula de Taylor. Vamos $$g(t)=R(t)-\frac{R(x)}{W(x)}W(t),\;\;W(t)=(t-a)^{n+1}$$ Then $g(a)=g(x)=0$ so $\existe c_0\in (a,x): g'(c_0)=0$. Now $g'(a)=g'(c_0)=0$ so $\existe c_1\in (a,c_0): g"(c_1)=0$ etc. until finally $$\exists\xi: g^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-\frac{R(x)}{W(x)}(n+1)!=0\implies R(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

Esto simplemente no puede ser una coincidencia - ¿alguien puede explicación de la conexión?

Answer 1

Primero de todo tienes razón, no es ninguna coincidencia. No es una conexión entre la fórmula de interpolación y la expansión de Taylor.

Una multa respuesta a esta pregunta se puede encontrar en R. Courants Introducción al Cálculo y Análisis 1, ch. 5 de Taylor de expansión, en el Apéndice.II.3 La Estimación del Resto.

En la siguiente me tome los pasajes pertinentes de allí junto con su agradable add-on acerca de un significado preciso a una expresión comúnmente utilizada en la geometría.

Primer paso: Notación y ajustes preliminares que vienen del Apéndice II.2. La construcción de la Solución. Newton Interpolación de fórmula.

Allí se construye a partir de una función dada $f(x)$ una interpolación polinomial $\phi(x)$ $n$th grado tal, que $\phi(x_0)=f_0,\dots,\phi(x_n)=f_n$. La construcción se realiza en una forma gradual, comenzando con una interpolación polinomial $\phi_0(x)=A_0$ con grado cero, entonces un polinomio de interpolación de $\phi_1(x)=A_1(x-x_0)$ con grado uno, que se añade a $\phi_0(x)$, hasta que alcanza el polinomio $$\phi(x)=\phi_n(x)=A_0+A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)(x-x_1)+\dots+A_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}).$$ The coeffficients $A_i$ can by found by solving the $n+1$ de ecuaciones $$\begin{align*} f_0&=A_0\\ f_1&=A_0+A_1(x_1-x_0)\tag{1}\\ \dots&\dots\dots\dots\dots\\ f_n&=A_0+A_1(x_n-x_0)+\dots+A_n(x_n-x_0)(x_n-x_1)\cdots(x_n-x_{n-1})\\ \end{align*}$$

De R. Courants Introducción al Cálculo y Análisis 1, ch. 5 de Taylor de expansión, en el Apéndice.II.3: La estimación del Resto

En esta sección se $R(x)=f(x)-\phi(x)$, el error de interpolación es introducido. Primero sólo sabemos, que $$R(x_0)=R(x_1)=\cdots=R(x_n)=0$$ Con el fin de ser capaz de decir más, $f(x)$ es asumido de forma continua derivados de, al menos, el $(n+1)$ésimo orden.

Ahora él señala que, para cada elección de la constante de $c$, la función $$K(x)=R(x)-c(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$$ se desvanece en el$n+1$$x_0,\dots,x_n$. Podemos entonces determince $c$, de modo que $K(y)=0$, que es $$c=\frac{R(y)}{(y-x_0)(y-x_1)\cdots(y-x_n)}$$ Así que hay $n+2$ puntos en los que $K(x)$ se desvanece. Ahora la generalizada del teorema de Rolle se aplica a $K(x)$; por esto sabemos que hay un valor de $x=\xi$ entre el mayor y el más pequeño de los valores de $x_0,x_1,\dots,x_n,y$, de tal manera que $K^{(n+1)}(\xi)=0$. Desde $R(x)=f(x)-\phi(x)$, e $\phi$, como un polinomio de $n$th orden, tiene una forma idéntica de fuga $(n+1)$th derivados, tenemos $$f^{(n+1)}(\xi)-c(n+1)!=0$$ tomando nota de que $(n+1)!$ $(n+1)$th derivado de la $(x-x_0)\cdots(x-x_n)$. Por lo tanto hemos obtenido para $c$, un segundo la expresión de $c=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$, conteniendo $\xi$, y en función de alguna manera en $y$. Ahora usamos la ecuación de $K(y)=0$, en el que $y$ es completamente arbitraria y por lo tanto puede ser reemplazado por $x$, y obtener la representación $$R(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)$$ donde $\xi$ es un valor que se extiende entre el más pequeño y el más grande de los puntos de $x,x_0,x_1,\dots,x_n$. Por lo tanto el problema de la interpolación de una función dada $f(x)$ está completamente resuelto. Tenemos para $f(x)$ la representación $$\begin{align*} f(x)&=A_0+A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots\\ &\qquad\qquad+A_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})+R_n\tag{2} \end{align*}$$ donde los coeficientes $A_0,A_1,\dots,A_n$ puede ser encontrado, sucesivamente, a partir de los valores de $f$ a los puntos de $x_0,x_1,\dots,x_n$ por la recursividad de las fórmulas de $(1)$ y donde el resto se $R_n$ es de la forma $$\begin{align*} R_n=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)\tag{3} \end{align*}$$ con un adecuado número de $\xi$ entre el largets y el más pequeño de los valores de $x,x_0,x_1,\dots,x_n$. Si tomamos la correspondiente fórmula $(2)$ $f(x)$ $n$ reemplazado por $n-1$ y restar, obtenemos $$A_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})+R_n-R_{n-1}=0$$ Para $x=x_n$ tenemos $R_n=0$ y por lo tanto para el coeficiente de $A_n$ (con $(3)$ $n$ reemplazado por $n-1$) la representación $$A_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$$ donde $\xi$ se encuentra entre el más pequeño y el más grande de los valores de $x_0,x_1,\dots,x_n$. Representaciones similares existen para $A_{n-1},A_{n-2},\dots,A_0$.

Por lo tanto reconocemos que si los puntos de $x_0,x_1,\dots,x_n$ se tiende junto a uno y el mismo punto, tal vez el origen, entonces nuestra fórmula de interpolación (2) va plazo para el término en la fórmula de Taylor $$f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f'(0)+\frac{x^2}{2!}f''(0)\cdots+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+R_n$$ con la forma de Lagrange $$R_n=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\Theta x)\qquad\qquad0\leq\Theta\leq1$$ de el resto.

La fórmula de Taylor por lo tanto puede ser considerado como un caso límite de la de Newton interpolación fórmula.

(Y aquí un bonito add-on)

Esta fórmula nos permite dar un significado preciso a una expresión comúnmente utilizada en la geometría. El osculating parábola que cumple una curva en un punto de $n$th orden, se dice $(n+1)$ puntos consecutivos en común con la curva en el punto. En realidad, obtenemos esta osculating parábola si nos encontramos con una parábola tener $n+1$ puntos en común con la curva y, a continuación, dibuje estos puntos juntos.

Analíticamente, esto sólo corresponde a la transición de la interpolación del polinomio de Taylor. De la misma manera podemos caracterizar a la osculation arbitraria de curvas. Por ejemplo, el círculo de curvatura es de ese círculo que tiene tres puntos consecutivos en común con la curva.