Primero de todo tienes razón, no es ninguna coincidencia. No es una conexión entre la fórmula de interpolación y la expansión de Taylor.
Una multa respuesta a esta pregunta se puede encontrar en R. Courants Introducción al Cálculo y Análisis 1, ch. 5 de Taylor de expansión, en el Apéndice.II.3 La Estimación del Resto.
En la siguiente me tome los pasajes pertinentes de allí junto con su agradable add-on acerca de un significado preciso a una expresión comúnmente utilizada en la geometría.
Primer paso: Notación y ajustes preliminares que vienen del Apéndice II.2. La construcción de la Solución. Newton Interpolación de fórmula.
Allí se construye a partir de una función dada $f(x)$ una interpolación polinomial $\phi(x)$ $n$th grado tal, que $\phi(x_0)=f_0,\dots,\phi(x_n)=f_n$. La construcción se realiza en una forma gradual, comenzando con una interpolación polinomial $\phi_0(x)=A_0$ con grado cero, entonces un polinomio de interpolación de $\phi_1(x)=A_1(x-x_0)$ con grado uno, que se añade a $\phi_0(x)$, hasta que alcanza el polinomio
$$\phi(x)=\phi_n(x)=A_0+A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)(x-x_1)+\dots+A_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}).$$ The coeffficients $A_i$ can by found by solving the $n+1$ de ecuaciones
\begin{align*}
f_0&=A_0\\
f_1&=A_0+A_1(x_1-x_0)\tag{1}\\
\dots&\dots\dots\dots\dots\\
f_n&=A_0+A_1(x_n-x_0)+\dots+A_n(x_n-x_0)(x_n-x_1)\cdots(x_n-x_{n-1})\\
\end{align*}
De R. Courants Introducción al Cálculo y Análisis 1, ch. 5 de Taylor de expansión, en el Apéndice.II.3: La estimación del Resto
En esta sección se $R(x)=f(x)-\phi(x)$, el error de interpolación es introducido. Primero sólo sabemos, que
$$R(x_0)=R(x_1)=\cdots=R(x_n)=0$$
Con el fin de ser capaz de decir más, $f(x)$ es asumido de forma continua derivados de, al menos, el $(n+1)$ésimo orden.
Ahora él señala que, para cada elección de la constante de $c$, la función
$$K(x)=R(x)-c(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$$
se desvanece en el$n+1$$x_0,\dots,x_n$. Podemos entonces determince $c$, de modo que $K(y)=0$, que es
$$c=\frac{R(y)}{(y-x_0)(y-x_1)\cdots(y-x_n)}$$
Así que hay $n+2$ puntos en los que $K(x)$ se desvanece. Ahora la generalizada del teorema de Rolle se aplica a $K(x)$; por esto sabemos que hay un valor de $x=\xi$ entre el mayor y el más pequeño de los valores de $x_0,x_1,\dots,x_n,y$, de tal manera que $K^{(n+1)}(\xi)=0$. Desde $R(x)=f(x)-\phi(x)$, e $\phi$, como un polinomio de $n$th orden, tiene una forma idéntica de fuga $(n+1)$th derivados, tenemos
$$f^{(n+1)}(\xi)-c(n+1)!=0$$
tomando nota de que $(n+1)!$ $(n+1)$th derivado de la $(x-x_0)\cdots(x-x_n)$. Por lo tanto hemos obtenido para $c$, un segundo la expresión de $c=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$, conteniendo $\xi$, y en función de alguna manera en $y$. Ahora usamos la ecuación de $K(y)=0$, en el que $y$ es completamente arbitraria y por lo tanto puede ser reemplazado por $x$, y obtener la representación
$$R(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)$$
donde $\xi$ es un valor que se extiende entre el más pequeño y el más grande de los puntos de $x,x_0,x_1,\dots,x_n$.
Por lo tanto el problema de la interpolación de una función dada $f(x)$ está completamente resuelto. Tenemos para $f(x)$ la representación
\begin{align*}
f(x)&=A_0+A_1(x-x_0)+A_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots\\
&\qquad\qquad+A_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})+R_n\tag{2}
\end{align*}
donde los coeficientes $A_0,A_1,\dots,A_n$ puede ser encontrado, sucesivamente, a partir de los valores de $f$ a los puntos de $x_0,x_1,\dots,x_n$ por la recursividad de las fórmulas de $(1)$ y donde el resto se $R_n$ es de la forma
\begin{align*}
R_n=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)\tag{3}
\end{align*}
con un adecuado número de $\xi$ entre el largets y el más pequeño de los valores de $x,x_0,x_1,\dots,x_n$. Si tomamos la correspondiente fórmula $(2)$ $f(x)$ $n$ reemplazado por $n-1$ y restar, obtenemos
$$A_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})+R_n-R_{n-1}=0$$
Para $x=x_n$ tenemos $R_n=0$ y por lo tanto para el coeficiente de $A_n$ (con $(3)$ $n$ reemplazado por $n-1$) la representación
$$A_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$$
donde $\xi$ se encuentra entre el más pequeño y el más grande de los valores de $x_0,x_1,\dots,x_n$. Representaciones similares existen para $A_{n-1},A_{n-2},\dots,A_0$.
Por lo tanto reconocemos que si los puntos de $x_0,x_1,\dots,x_n$ se tiende junto a uno y el mismo punto, tal vez el origen, entonces nuestra fórmula de interpolación (2) va plazo para el término en la fórmula de Taylor
$$f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f'(0)+\frac{x^2}{2!}f''(0)\cdots+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+R_n$$
con la forma de Lagrange
$$R_n=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\Theta x)\qquad\qquad0\leq\Theta\leq1$$
de el resto.
$$ $$
La fórmula de Taylor por lo tanto puede ser considerado como un caso límite de la de Newton interpolación fórmula.
(Y aquí un bonito add-on)
Esta fórmula nos permite dar un significado preciso a una expresión comúnmente utilizada en la geometría. El osculating parábola que cumple una curva en un punto de $n$th orden, se dice $(n+1)$ puntos consecutivos en común con la curva en el punto. En realidad, obtenemos esta osculating parábola si nos encontramos con una parábola tener $n+1$ puntos en común con la curva y, a continuación, dibuje estos puntos juntos.
Analíticamente, esto sólo corresponde a la transición de la interpolación del polinomio de Taylor. De la misma manera podemos caracterizar a la osculation arbitraria de curvas. Por ejemplo, el círculo de curvatura es de ese círculo que tiene tres puntos consecutivos en común con la curva.
