Sumando la primera $n$ primeras potencias de números naturales: $$\sum_{k=1}^nk=\frac12n(n+1)$$ y hay un prueba geométrica que implica dos copias de una representación 2D de $(1+2+\cdots+n)$ que forman un $n\times(n+1)$ -rectángulo.
De la misma manera, $$\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1)$$ tiene un prueba geométrica (desplácese un poco hacia abajo hasta que vea los bloques de madera) con seis copias de una representación en 3D de $(1^2+2^2+\cdots+n^2)$ que forman un $n\times(n+1)\times(2n+1)$ -Sólido rectangular.
Y de manera similar, $$\sum_{k=1}^nk^3=\frac14n^2(n+1)^2$$ tiene una prueba que implica cuatro copias de una representación 4D de $(1^3+2^3+\cdots+n^3)$ que forman un $n\times n\times(n+1)\times(n+1)$ -sólido rectangular en el espacio de cuatro. No encuentro un recurso para demostrar mejor esto último, pero lo he esbozado para $n=3$ , dibujando las cuatro dimensiones con un $4\times4$ para dos dimensiones, y dentro de cada celda un $3\times 3$ rejilla para los otros dos. (Pruébalo - ¡es divertido!) Aquí hay una más pequeña $n=2$ versión. Tenga en cuenta que $1^3+2^3$ está representado por unos bloques 4D $1\times1^3+1\times2^3$ que están configurados de forma que aprovechan las cuatro dimensiones. $$\begin{array}{c|c|c} \begin{array}{cc} {\color{red} \bullet} & {\color{red} \bullet}\\ {\color{red} \bullet} & {\color{red} \bullet} \end{array} & \begin{array}{cc} {\color{red} \bullet} & {\color{red} \bullet}\\ {\color{red} \bullet} & {\color{red} \bullet} \end{array} & \begin{array}{cc} {\color{blue} \bullet} & {\color{blue} \bullet}\\ {\color{blue} \bullet} & {\color{blue} \bullet} \end{array} \\\hline \begin{array}{cc} {\color{green} \bullet} & {\color{green} \bullet}\\ {\color{green} \bullet} & {\color{green} \bullet} \end{array} & \begin{array}{cc} {\color{red} \bullet} & {\color{blue} \bullet}\\ {\color{green} \bullet} & {\color{magenta} \bullet} \end{array} & \begin{array}{cc} {\color{blue} \bullet} & {\color{blue} \bullet}\\ {\color{blue} \bullet} & {\color{blue} \bullet} \end{array} \\\hline \begin{array}{cc} {\color{green} \bullet} & {\color{green} \bullet}\\ {\color{green} \bullet} & {\color{green} \bullet} \end{array} & \begin{array}{cc} {\color{magenta} \bullet} & {\color{magenta} \bullet}\\ {\color{magenta} \bullet} & {\color{magenta} \bullet} \end{array} & \begin{array}{cc} {\color{magenta} \bullet} & {\color{magenta} \bullet}\\ {\color{magenta} \bullet} & {\color{magenta} \bullet} \end{array} \\ \end{array}$$ Este es un $2\times2\times3\times3$ hipersólido rectangular formado por cuatro copias de $1\cdot1^3+1\cdot2^3$ .
Así que pasamos a las cuartas potencias: $$\sum_{k=1}^nk^4=\frac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$$ Esta vez el polinomio no se factoriza completamente. Me gustaría saber si alguien puede encontrar una prueba geométrica similar. Se trataría de 30 copias de una representación 5D de $(1^4+2^4+\cdots+n^4)$ formando un hipersólido 5D, una de cuyas 2 caras tiene un área $3n^2+3n-1$ siendo las longitudes de las aristas ortogonales $n$ , $n+1$ y $2n+1$ . Sé que parece inútil... ¿30 copias? $3n^2+3n-1$ ? Pero sería un bonito arte.
Sería un buen comienzo si hubiera algún tipo de conexión entre $30$ y un grupo de simetría de $\mathbb{R}^5$ . Por ejemplo, si hubiera un subgrupo de $\operatorname{SO}_5$ cuyo orden era algún gran divisor de $30$ entonces eso podría ayudar a colocar el $30$ bloques de volumen $1^5$ en su configuración.
