Constante tal que $\max\left(\frac{5}{5-3c},\frac{5b}{5-3d}\right)\geq k\cdot\frac{2+3b}{5-c-2d}$

Question

¿Cuál es la mayor constante $k>0$ tal que

$$\max\left(\frac{5}{5-3c},\frac{5b}{5-3d}\right)\geq k\cdot\frac{2+3b}{5-c-2d}$$

para todos $0\leq b\leq 1$ y $0\leq c\leq d\leq 1$ ?

El lado derecho parece una suma ponderada de los dos términos del lado izquierdo, pero no lo es del todo. Si introducimos $b=1$ y $c=d$ entonces los tres términos son iguales, por lo que $k\leq 1$ .

Por otra parte, tenemos $k\geq 3/5$ . De hecho, demostraremos que $$\frac{5}{5-3c}\geq\frac35\cdot\frac{2+3b}{5-c-2d}.$$ Tenga en cuenta que $d\leq 1$ y $2+3b\leq 5$ por lo que basta con demostrar $$\frac{1}{5-3c}\geq\frac35\cdot\frac{1}{3-c},$$ o $$5(3-c)\geq 3(5-3c)$$ o $$15-5c\geq 15-9c$$ lo cual es cierto. Pero el límite no es estricto aquí, ya que debemos tener $b=d=1$ y $c=0$ y tenemos $\max(5, 5/2)\geq 5/3$ . (El término $\frac{5b}{5-3d}$ que no utilizamos en absoluto, es grande).

Actualización : Dividiendo los casos en si $b\leq 3/5$ (y comparar con el primer término del $\max$ si es así) o $b\geq 3/5$ (y comparar con el segundo término del $\max$ si es así), podemos demostrar que $k\geq 15/19$ . Además, como ha señalado Aravind en los comentarios, hemos $k\leq 15/16$ . Así que la diferencia está ahora entre $15/19$ y $15/16$ .

Actualización 2 : WolframAlpha confirma que $k=15/16$ es la respuesta correcta. La cuestión ahora es cómo demostrarlo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=find+mínimo+de+máx(5%2F(5-3c),(5b)%2F(5-3d))) *(5-c-2d)%2F(2%2B3b)+for+0%3C%3Db%3C%3D1+and+0%3C%3Dc%3C%3Dd%3C%3D1

Answer 1

El problema original equivale a encontrar el valor mínimo de $$ \max (\frac{5}{5-3c}, \frac{5b}{5-3d}) \cdot \frac{5-c-2d}{2+3b} $$ en la región $\{(b, c, d) \mid 0 \leq b \leq 1 \wedge 0 \leq c \leq d \leq 1\}$ . A continuación consideramos dos casos, a saber,

• Caso 1: $\frac{5}{5-3c} \leq \frac{5b}{5-3d}$ ;

• Caso 2: $\frac{5}{5-3c} \geq \frac{5b}{5-3d}$ .

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Caso 1: El problema puede plantearse de la siguiente manera \begin{align} \text{minimize}\quad & f(b, c, d) = \frac{5-c-2d}{5-3d}\cdot \frac{5b}{2+3b} \\ \text{subject to}\quad & b \geq \frac{5-3d}{5-3c} \quad\quad (\text{by the condition of Case 1}) \\ & 0 \leq b \leq 1 \\ & 0 \leq c \leq d \leq 1 \end{align} Obsérvese que el término $\frac{5b}{2+3b} = \frac{5}{3} - \frac{10}{6+9b}$ en $f(b, c, d)$ es una función estrictamente creciente de $b$ . Para minimizar $f(b, c, d)$ , $b$ debe reducirse al mínimo, para $c$ y $d$ . Por lo tanto, $$b = \frac{5-3d}{5-3c} \tag{1}$$ Sustituyendo $b$ con (1) en $f$ obtenemos que $$ f(b, c, d) = \frac{25-5c-10d}{25-6c-9d} = \frac{5}{6} + \frac{\frac{25}{6} - \frac{15}{6}d}{25 - 6c - 9d} $$ Para fijos $d$ , $f(b, c, d)$ se minimiza cuando $c$ se minimiza, es decir $c = 0$ . Obtenemos además que $$ f(b, c, d) = \frac{5}{6} + \frac{\frac{25}{6} - \frac{15}{6}d}{25 - 9d} = \frac{5}{6} + \frac{5}{18} - \frac{\frac{50}{18}}{25-9d} $$ Configuración $d = 1$ obtenemos el valor mínimo $\frac{5}{6} + \frac{5}{18} - \frac{50}{18\cdot16} = \frac{15}{16}$ .

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Caso 2: El problema puede enunciarse así: \begin{align} \text{minimize}\quad & g(b, c, d) = \frac{5-c-2d}{5-3c}\cdot \frac{5}{2+3b} \\ \text{subject to}\quad & b \leq \frac{5-3d}{5-3c} \quad\quad (\text{by the condition of Case 2}) \\ & 0 \leq b \leq 1 \\ & 0 \leq c \leq d \leq 1 \end{align} y la solución es similar a la del caso 1. En primer lugar, el término $\frac{5}{2+3b}$ es una función estrictamente decreciente de $b$ . Así, fijamos $b = \frac{5-3d}{5-3c}$ y obtener $$ g(b, c, d) = \frac{25-5c-10d}{25-6c-9d} $$ que es la misma función que la del caso 1. Por tanto, el valor mínimo sigue siendo $\frac{15}{16}$ .

Answer 2

Nota: Esta solución es prácticamente la misma que la de NP-difícil.

Sea $x=5-3c$ , $y=5-3d$ , $t=\dfrac{5}{3k}$ .

Entonces buscamos el mínimo $t$ para lo cual: $min(x,\dfrac{y}{b}) \leq t\dfrac{(x+2y)}{(3b+2)}$ .

con $2 \leq y \leq x \leq 5$ y $0 \leq b \leq 1$ .

Consideremos el caso $x \leq \dfrac{y}{b}$ . Entonces es suficiente: $t \geq \dfrac{(3b+2)x}{(x+2y)}$ y puesto que $b \leq \dfrac{y}{x}$ basta con que $t \geq \dfrac{2x+3y}{x+2y}$ y el valor máximo de la expresión de la derecha es $\dfrac{16}{9}$ . Así, en este caso, $t =\dfrac{16}{9}$ que corresponde a $k=\dfrac{15}{16}$ .

En caso de que $\dfrac{y}{b} \leq x$ basta con tener: $t \geq \dfrac{(3b+2)}{(x+2y)}y/b=(3+\dfrac{2}{b})\dfrac{y}{x+2y}$ y utilizando $b \geq \dfrac{y}{x}$ volvemos a obtener lo mismo cálculo anterior.