Comentario de $x$, si $x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$.

Question

La pregunta principal es del tipo:

$$x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$$

Comentarios sobre $x$.

Hay opciones añadidas:
A) $x$ es un número irracional
B) $2<x<3$
C) $x=3$
D) ninguno de estos

Mi enfoque: así que intento cuadrado el término primero. Bastante obvio, no va a buscarme en cualquier lugar, creo. Creo que $x$ es irracional, pero no tengo ninguna razón sólida. Por favor me ayude a cabo.

Answer 1

$$x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}$$$$x^2=6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}=6+x$$$$x^2-x-6=(x+2)(x-3)=0$$$$x=-2~or~3$$ $x=-2$ es, obviamente, una mala respuesta

Por lo tanto, $x=3$

Para saciar el apetito por el rigor de los comentaristas de abajo: sí, la serie converge. Esto es porque $3<\sqrt{6+y}<y$ si $y>3$ y $y<\sqrt{6+y}<3$ si $-6<y<3$.

Answer 2

Let $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$, $a_1=\sqrt{6}$.

A probar que $a_n<3$.

Desde $a_1<3$, queda por demostrar que $a_{n+1}<3$ $a_n<3$.

De hecho, $a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}<\sqrt{3+6}=3$.

ID est, $a_n<3$.

Por otro lado, $a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+6}-a_n=\frac{(3-a_n)(2+a_n)}{\sqrt{a_n+6}+a_n}>0$,

que dice que hay $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_n$.

Que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_n=A$.

Por lo tanto, % o $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_{n+1}^2=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_n+6$ $A^2=A+6$o $A=3$, que nos da la respuesta.

Answer 3

C la solución es correcta.

Desde $x=\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots }}$ tenemos:

$$ x=\sqrt{6+x}$$

Esto reduce a la ecuación cuadrática $x^2-x-6=0$ que tiene soluciones $x=-2$ o $x=3$. $x=-2$ no es una solución desde $-2\neq \sqrt{6-2}=\sqrt{4}=2$. Así $x=3$.