He encontrado esto hace poco y yo sólo no puedo envolver mi cabeza alrededor de él. Mi libro dice que $A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B$.
Es mi entendimiento que $A \rightarrow B$ significa que si $A$ es true, entonces $B$ es cierto.
Pero, $\neg A \lor B$ permitiría contar que es verdad $\neg A$ y $B$ es cierto, que parece ser más o menos exactamente lo contrario de $A \rightarrow B$, entonces, ¿cómo pueden estos ser equivalente?
Lo que he encontrado es una variación sobre el vacío de la verdad. Si la premisa es falsa, entonces la afirmación es verdadera. Por ejemplo, yo puedo decir "Si yo soy de Marte, luego de la lluvia de caramelos el día de mañana", y que será una declaración verdadera. Es cierto porque no es una mentira. Sólo podía ser una mentira si realmente eran de Marte, y al mismo tiempo no la lluvia de caramelos mañana, y es bastante seguro asumir que este no es el caso.
Al igual, que podemos tener de los enunciados matemáticos formulados en la misma forma. Para un ejemplo famoso, tomar
Si no existe la no-cero enteros $a, b, c$ natural y un número $n>2$ tal que $a^n+b^n = c^n$, entonces existe un no-modular de curva elíptica.
Esta declaración fue demostrar la verdad de una década antes del último teorema de Fermat fue probado (es decir, no hay ningún tipo de números de $a, b, c, n$). De hecho, la verdad de la afirmación anterior se utiliza explícitamente a probar el ultimo teorema de Fermat, mostrando que la conclusión era falsa (en otras palabras, tenemos $\lnot B$), lo que obligó a la premisa falsa (es decir, se debe tener $\lnot A$). Esto es exactamente lo $\lnot A\lor B$ medios.
El hecho de que la afirmación anterior se utilizó para demostrar el último teorema de Fermat hace que este un poco circular ejemplo. Sin embargo, desde entonces hemos (probablemente) demostrar la $abc$-conjetura, que implica también el último teorema de Fermat, de modo que todavía es viable.
Aquí hay una tabla que muestra las combinaciones posibles de valor para el A y B en las dos primeras columnas. Se puede ver que las columnas 3 y 5 son el mismo, por lo tanto ambos predicados deben ser equivalentes.
| A | B | A->B | not A | (not A) or B |
|---|---|------|-------|--------------|
| T | T | T | F | T |
| F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | F | T | T | T |
¿Por qué es "sólo si B" equivalente a "(no A) o B"?
Vamos a hacer que sea menos abstracto:
A = Usted puede tener su pudín
B = comer su carne
Así que "a sólo si B" significa que "Usted puede tener su pudín sólo si usted come su carne".
¿Cómo se puede evitar tener pudín pero no comer carne? Ya sea por no tener leche o comer su carne. Por lo tanto $\neg A \lor B$.
Es mi entendimiento de que $A \rightarrow B$ significa que si $A$ es verdadera, entonces el $B$ es cierto.
Correcto. Si de alguna manera nos encontramos que $A$ es cierto, podemos estar seguros de $B$ es cierto.
Pero, $\neg A \lor B$ permitiría que tengamos ese $\neg A$ es verdadera y $B$ que es cierto, que parece ser bastante exacto opuesto de $A \rightarrow B$, así que ¿cómo puede ser equivalente?
Usted está diciendo que usted no tiene ninguna pudín aunque se comió su carne, de alguna manera, falsifica "si usted no come su carne, usted no puede tener cualquier pudín". Nadie está diciendo que usted debe tener pudín sólo porque comía carne.
Si alguien sigue la regla de "si no come su carne, usted no puede tener cualquier pudín", entonces lo que sabemos es que si había algún budín, comieron su carne. Es decir, "si usted no come su carne, puede no tener leche" es equivalente a "tener cualquier pudín implica que usted comió su carne".
Esto es perfectamente coherente con vosotros de comer carne y no tener leche. Esto es perfectamente coherente con no comer carne y no tener leche. Esto es perfectamente coherente con vosotros de comer carne y tener pudín.
Es sólo violada si usted tiene cualquiera de pudín sin comer ningún tipo de carne.
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