Un conjunto que es abierto en cualquier espacio métrico que lo contenga

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto con la siguiente propiedad: Para todo espacio métrico $Y$ tal que $X\subset Y$ tenemos que $X$ es un conjunto abierto en $Y$ . $X$ debe ser el conjunto vacío?

Answer 1

La pregunta sólo tiene sentido si $X$ es metrizable, en cuyo caso la respuesta es sí .

Si $X\ne\varnothing$ , arreglar $p\in X$ . Sea $Y_0=\{y_n:n\in\Bbb N\}$ sea un conjunto de puntos distintos que no están en $X$ y que $Y=X\cup Y_0$ . Sea $d$ sea una métrica sobre $X$ y definir una métrica $d_1$ en $Y$ de la siguiente manera.

$$d_1(x,y)=\begin{cases} d(x,y),&\text{if }x,y\in X\\ 2^{-n},&\text{if }\{x,y\}=\{p,y_n\}\\ |2^{-n}-2^{-m}|,&\text{if }\{x,y\}=\{y_n,y_m\}\\ 2^{-n}+d(x,p),&\text{if }x\in X\setminus\{p\}\text{ and }y=y_n\\ 2^{-n}+d(y,p),&\text{if }y\in X\setminus\{p\}\text{ and }x=y_n\;. \end{cases}$$

No es difícil comprobar que $d_1$ es una métrica en $Y$ que está de acuerdo con $d$ en $X$ . Sin embargo, $p\in\operatorname{cl}_YY_0$ Así que $X$ no está abierto en $Y$ . (En caso de que los detalles oscurezcan lo que realmente sucede, acabo de añadir una simple secuencia $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ convergiendo a $p$ .)

Añadido: La misma idea funciona en espacios topológicos generales. Basta con declarar un conjunto $V\subseteq Y$ es abierto si es un subconjunto abierto de $X$ que no contiene $p$ es un subconjunto de $Y_0$ o $p\in V$ , $V\cap X$ está abierto en $X$ y hay un $n_0\in\Bbb N$ tal que $V\supseteq\{y_n\in n\ge n_0\}$ . (Si estás familiarizado con los espacios cotizados y la compactación de un punto, esto $Y$ es homeomorfo al cociente de $X\sqcup Y_0^*$ , donde $Y_0^*$ es la compactación de un punto del espacio discreto $Y_0$ que se obtiene identificando $p$ y el punto en el infinito en $Y_0^*$ .)