Aclaración: Viendo el $\mathbb{R}^n$ como un espacio de estado probabilístico

Question

En este MathOverflow post en la visualización de grandes dimensiones de los espacios, de Terry Tao dice que "el hecho de que la mayoría de la masa de una unidad de pelota en alto dimensiones se esconde cerca de la frontera de la bola puede ser interpretado como una manifestación de la ley de los grandes números, con la interpretación de una alta dimensión de espacio vectorial como el espacio de estado para un gran número de ensayos de una variable aleatoria."

¿Qué quiere decir?

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La única interpretación que he llegado es la siguiente:
La observación de n ensayos de una variable aleatoria (por ejemplo,$X \sim U(0,1)$) es equivalente a elegir un punto al azar dentro de un n-dimensional de la unidad de cubo. Para la gran n, la mayor parte del volumen de la n-dimensional de la unidad de cubo está cerca de los bordes. Así, nuestro punto es probable que cerca de un borde del cubo, lo que significa que uno de nuestros ensayos tiene un gran valor. Esto muestra algunas de la ley de eventos raros: "dado pruebas suficientes, un raro evento va a ocurrir".

Sin embargo, esta interpretación debe utilizar un n-cubo en lugar de una n-esfera debido a que los ensayos son independientes. Además, nuestra conclusión no es la ley de los grandes números, lo que indica que el promedio de nuestros ensayos convergerán para el valor esperado para la gran n.

Alguien puede proporcionar una correcta interpretación de Tao comentario?

Gracias!

Answer 1

Una posibilidad es para generar puntos en la bola de % de $n$tomando un tamaño de muestra $n+1$ $X \sim N(0,1)$, que $\lambda = \sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}X_i^2}$ y buscando en $(X_1/\lambda,X_2/\lambda, \ldots , X_n/\lambda)$ como puntos aleatorios en la bola.

El cuadrado de la distancia desde el centro, es decir, ${\sum_{i=1}^{n}(X_i/\lambda)^2}$, se más concentrarán cerca $1$ $n$ aumenta.