He estado leyendo acerca de los múltiples de Riemannian y han llegado a través de un comentario que dice que una métrica $g$ en un $N$-dimensional múltiple $M$, considerado como un mapa bilineal $$ g:\Omega^1(M) \times \Omega^1(M) \to C^{\infty}(M), $$ existe un mapa bilineal canónicamente inducido $$ g_k:\Omega^k(M) \times \Omega^k(M) \to C^{\infty}(M), $$ % todos $2 \geq k \leq N$. ¿Qué es canónicamente inducida por $g_k$ definido?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si tenemos un producto interno g en un espacio del vector V, podemos definir un producto interno en $\bigotimes_{i=1}^k V$ via $$g(v_1 \otimes \cdots \otimes v_k, w_1 \otimes \cdots \otimes w_k) := \frac{1}{k!}g(v_1, w_1)\cdots g(v_k, w_k).$ $
¡El factor 1/k! tiene la siguiente explicación: Si el producto de la cuña si se ha definido a través de %#% $ #% donde $$\omega \wedge \eta := \frac{(r+s)!}{r!s!}\operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta),$ es una forma de r y $\omega$ una forma de s, entonces obtenemos $\eta$ $
Esto da la declaración de Niza, que si $$g(v_1 \wedge \ldots \wedge v_k, w_1 \wedge \ldots \wedge w_k) = \operatorname{det}(g(v_i, w_j)).$ es una base orthonormal de V, entonces $\{v_1, \ldots, v_n\}$ es una base orthonormal de $\{v_{i_1} \wedge \ldots \wedge v_{i_k}: 1 \le i_1 < \ldots < i_k \le n\}$.
