Localización de los ciclos de desaparición

Question

Considere un módulo D holonómico regular (o una gavilla perversa) $M$ en una variedad suave $X$ . Deje que $f:X \to A^1$ ser una función polinómica (u holomórfica).

Pregunta : ¿Es cierto que el $ \lambda \in A^1$ de tal manera que los ciclos de desaparición $ \phi_ {f- \lambda }(M) = 0$ es un conjunto abierto y denso?

Aquí están mis pensamientos:

Si $M = O_X$ (o la constante gavilla perversa $A[dim X]$ ), esto es sólo el hecho de que los valores críticos de $f$ están aislados.

En el caso general, podemos tener en cuenta $f$ a través de su gráfico $X \to X \times A^1$ , $x \mapsto (x,f(x))$ reduciendo al caso en el que $f$ es la proyección (suave) $t:X \times A^1 \to A^1$ . Nuestra gavilla $M$ en $X \times A^1$ tiene una variedad característica $ \bigcup_\alpha T^*_{S_ \alpha }(X \times A^1)$ para una estratificación $X \times A^1 = \bigcup_\alpha S_ \alpha $ . Mi suposición es que $ \phi_ {t- \lambda }(M) = 0$ cuando $\{t- \lambda = 0 \}$ es transversal a todos los $S_ \alpha $ y que se trata de una condición genérica, pero tengo problemas para hacer precisa esta intuición.

Answer 1

Una respuesta a esta pregunta me la dio Pierre Schapira. Esto se conoce como el teorema microlocal de Bertini-Sard (cf. Poleas en los colectores cor. 8.3.12).

Considere un mapa $f:X \to A^1$ . Induce $f_ \pi : X \times_ {A^1} T^*A^1 \to T^*A^1$ y $f_d : X \times_ {A^1} T^*A^1 \to T^*X$ . Set $ \Lambda = SS(M)$ la variedad característica de $M$ . Este es un subconjunto isotrópico cónico cerrado de $T^*X$ . Ahora $$ supp( \phi_ {f-t}(M)) \subset [ x ~|~ f(x) = t,~(x,df(x)) \in \Lambda ] $$ así que $$ [ t \in A^1 ~|~ \phi_ {f- \lambda }(M) \neq 0 ] \subset [ t \in A^1 ~|~ (t,dt) \in f_ \pi f_d^{-1}( \Lambda ) ] $$

Ahora asume que $f$ es compactable como $X \overset {j}{ \to } \bar {X} \overset { \bar {f}}{ \to } A^1$ , $j$ una inmersión abierta y $ \bar {f}$ adecuado. El cierre $ \bar { \Lambda }$ de $ \Lambda $ es $T^* \bar {X}$ es un subconjunto isotrópico cónico cerrado y como $ \bar {f}$ es apropiado, $ \bar {f}_ \pi \bar {f}_d^{-1}( \bar { \Lambda })$ es un subconjunto isotrópico cónico cerrado de $T^*A^1$ . Así que su intersección con la sección de desaparición en ninguna parte

$$ [t \in A^1 ~|~ (t,dt) \in \bar {f}_ \pi \bar {f}_d^{-1}( \bar { \Lambda })] $$

tiene la dimensión 0. Ya que $f_ \pi f_d^{-1}( \Lambda ) \subset \bar {f}_ \pi \bar {f}_d^{-1}( \bar { \Lambda })$ lo mismo es cierto para

$$ [ t \in A^1 ~|~ \phi_ {f- \lambda }(M) \neq 0 ] \subset [ t \in A^1 ~|~ (t,dt) \in f_ \pi f_d^{-1}( \Lambda ) ] $$

y el teorema está probado.

Si $f$ es algebraico, siempre es compactable. Si $f$ es analítica, no sé si el teorema sigue siendo válido en general.

PD: Si $f(x) = \lambda $ la condición $(x,df(x)) \in T^*_Z X$ sólo dice que la fibra $\{f = \lambda\ }$ es transversal a $Z$ en $x$ . Así que cuando $SS(M) \subset \bigcup T^*_{S_ \alpha } X$ esto da la interpretación geométrica de que los ciclos de desaparición son 0 cuando las fibras son transversales a los estratos.