Débilmente diferenciable pero clásicamente no diferenciable en ningún lugar

Question

¿Hay algún ejemplo de una función que sea débilmente diferenciable pero ninguna de sus versiones sea clásicamente diferenciable en ningún lugar (o diferenciable solo en un conjunto de medida 0)? Gracias

Answer 1

En cualquier espacio de Sobolev donde las funciones son capaces de ser infinitas en un punto, son capaces de no ser continuas en ningún lugar.

Sea $f$ una función en algún espacio de Sobolev que es infinita en 0 (por ejemplo, $f$ podría ser $|x|^{-1/3}$ en $H^1(\Omega)$ para $\Omega$ algún bola abierta en $\mathbb{R}^3$), sea $q_n$ una enumeración de los puntos racionales de $\Omega$, y sea $f_h(x) = f(x-h)$. Luego podemos definir $$g = \sum_n 2^{-n} f_{q_n}.$$ Este $g$ no está acotado en ningún conjunto abierto, pero su norma no es más del doble de la norma de $f$, por lo que en particular sigue siendo débilmente diferenciable.

Se puede verificar fácilmente que la secuencia de sumas parciales converge, y que el resultado no es en ningún lugar continuo, [y que no se puede hacer continuo modificándolo en un conjunto de medida cero].

Answer 2

Este es más bien un comentario sobre el caso unidimensional y sobre $W^{1,\infty}_\mathrm{loc}(\Omega)$ que una respuesta.

En una dimensión, esto no puede ocurrir. Tomemos una función $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(0,1)$, con derivada débil $f' \in L^1_{\mathrm{loc}}(0,1)$. Entonces, para cualquier $[a,b] \subset (0,1)$, tienes $f' \in L^1([a,b])$. Por lo tanto, $f$ es absolutamente continua en este intervalo y, por lo tanto, diferenciable en casi todas partes.

Por otro lado, si $f \in W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ para algún $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, entonces $f$ es Lipschitz en subconjuntos compactos de $\Omega$ y, por lo tanto, diferenciable en casi todas partes según el teorema de Rademacher.

Esto muestra que hay que buscar contraejemplos en al menos dos dimensiones, donde la derivada débil no está en $L^\infty_\text{loc}(\Omega)$ (es decir, "sin límite en ninguna parte").

Answer 3

Seguramente, si tomas una función clásicamente diferenciable y cambias sus valores en un conjunto nulo (Lebesgue) denso, como en el ejemplo con la función característica de los números racionales en Wikipedia, esa función aún tendría una derivada débil. ¿Pero tal vez querías ejemplos menos triviales?