Deje $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ una función derivable tal que $f'(x)=0$ todos los $x\in\mathbb{Q}$

Question

Deje $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ una función derivable tal que $f'(x)=0$ para todos los $x\in\mathbb{Q}.$ $f$ es una función constante?

Answer 1

No, esa función no es necesariamente constante.

En la parte inferior de la página 351 aquí Katznelson y Stromberg dar el siguiente teorema:

Deje $A$ $B$ ser disjuntas contables de subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Entonces existe una función derivable en todas partes $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfactorio

• $F'(a) = 1$ todos los $a \in A$,
• $F'(b) < 1$ todos los $b \in B$,
• $0 < F'(x) \leq 1$ todos los $x \in \mathbb{R}$.

La elección de $A = \mathbb{Q}$ y un arbitrario (no vacío*) contables set $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, se obtiene una función derivable en todas partes $F$ $F'(q) = 1$ al $q \in \mathbb{Q}$. Así que si definimos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$f(x) = F(x) - x$, esto es, la función que se desea satisfacer $f'(q) = F'(q) - 1 = 1 - 1 = 0$$q \in \mathbb{Q}$, e $f$ no es constante (o por el contrario su derivada sería igual a cero en todas partes por el valor medio teorema).

*(en caso de que usted tome "contables" para significar "countably infinito" o "finito")

Answer 2

Yo creo que hay no constante funciones como esta. Deje $q_1,q_2,...$ ser una enumeración de los racionales. Deje $\phi(x)$ ser algunos de rugosidad (función continua no negativa compacto admite la función) que es constante en un intervalo centrado en el origen y tal que $|\phi(x)| < 1$ todos los $x$.

Mira funciones de la forma $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n \phi(b_n(x - q_n))$ donde $a_n$ $b_n$ son constantes positivas elegido de la siguiente manera. Primero elige $b_n > 1$ lo suficientemente grande como para que $\phi(b_n(x - q_n))$ es compatible en $\{x \in {\mathbb R}: |x - q_n| < {1 \over 2}|q_n - q_i|$ todos los $i < n\}$. A continuación, elija $a_n$ disminuye muy rápido, así que $|a_n| < \min((2b_n)^{-n}, 2^{-n}|q_n - q_i|^n)$ todos los $i < n$.

Los términos de disminución de la suficiente rapidez que la función se $C^{\infty}$ (utilizamos el enlazado $|a_n| < (2b_n)^{-n}$). En un determinado $q_i$, la derivada de la $i$th término es cero por la construcción, y la condición de la $|a_n|$ asegura que cuando uno se diferencia de los cocientes de la suma de los términos restantes en $q_i$, el límite siempre será cero; cuando estés lo suficientemente cerca como para $q_i$ sólo en términos de $n > i$ será representado y por la suma de los términos de la condición de $|a_n| < 2^{-n}|q_n - q_i|^n$ hará que el límite de cero. (En realidad se puede elegir la más débil de las tasas de descomposición de la $|a_n|$ a esta parte si lo desea).

Answer 3

El problema con Vandermonde de la prueba (de Katznelson y Stromberg) es que se supone que ambos conjuntos a y B son contables. Mientras que los racionales son numerables, el irrationals no lo son. La función es constante, debido al sorprendente hecho de la derivada existe. Debido a que los racionales son numerables, las discontinuidades de la función (si los hubiera) son contables; a continuación, ya que la derivada existe en todos estos puntos, sabemos que utilizando el límite de la definición de la derivada que la función es continua. Finalmente, debido a que la derivada es cero en estos puntos, sabemos (porque la función es continua) que la derivada es cero en todas partes; por lo tanto, la función debe ser constante (o al menos una función definida a tramos con una contables número de tramos de definiciones, cada una de las cuales es constante, pero no necesariamente el mismo valor.... por ejemplo, en un intervalo de abrir la función tiene un valor constante y en otra que tiene otro....)