Vectores de la matanza en plana métrica FLRW

Question

Tengo el plano de la métrica FLRW,

$$ ds^2=-dt^2+a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2) $$ y una geodésica $\gamma(s)=(t(s),x(s),y(s),z(s))$ con el parámetro $s$. Dos de la Matanza de los vectores de la métrica se $ \partial_x$ $\partial_y$ que dan lugar a las constantes de movimiento $ a^2\dot x$ $ a^2 \dot y $ respectivamente. Esto es lo lejos que estoy. Ahora tengo que demostrar que de ello se sigue que puedo asumir que la geodésica ha $y(s)=0=x(s)$. Esto no es obvio para mí de las constantes anteriores de movimientos, porque ellos también le permiten a $\dot x=\frac{const.}{a^2}$

Si puedo descartar esto, llego $\dot x =0$ y, por tanto, $x=const.$ y ya puedo establecer $x$ a cero localmente, es cero en todo el espacio-tiempo.

Así que mi pregunta es: ¿por Qué es $\dot x =0$

Edit: O estoy completamente en el camino equivocado?

Answer 1

La afirmación correcta es que siempre podemos construir una geodésica tal que $x(s)=y(s)=0$ para cada valor del parámetro afín $s$. Todo lo que independientemente de nuestra elección inicial en el origen y la orientación ortogonal de coordenadas Cartesianas $x,y,z$ $3$- colectores de normal a $\partial_t$ (el natural resto del espacio de la que se considera el espacio-tiempo).

El geodesics son soluciones de Euler-Lagrange las ecuaciones de Lagrange $${\cal L} = \sqrt{|-\dot{t}^2 + a(t(\xi))^2(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)|}\:,\tag{1}$$ donde el parámetro utilizado es el genérico $\xi$ ad el punto que indica el $\xi$derivados.

Como ${\cal L}$ no dependan explícitamente $x,y,z$, desde E-L ecuaciones, tenemos las tres constantes de movimiento: $$\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{x}}\:, \quad \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{y}}\:, \quad \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{z}}\:.$$ De pasar a describir las curvas con el geodesical longitud de $s$, con $$ds = \sqrt{|-\dot{t}^2 + a(t(\xi))^2(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)|} d\xi$$ estas constantes de lectura, de hecho, $$a(t(s))^2 \dot{x}(s)\:,\quad a(t(s))^2 \dot{y}(s)\:, \quad a(t(s))^2 \dot{z}(s)\:,$$ donde ahora el punto indica el $s$derivados. En otras palabras, hay una constante en el vector de $\vec{c}\in\mathbb R^3$, de tal manera que, para cada $s$: $$a(t(s))^2 \frac{d\vec{x}}{ds} = \vec{c}\tag{2}$$ donde $\vec{x}(s) = (x(s),y(s),z(s))$. El geodesics se describen aquí por curvas $$\mathbb R \ni s \mapsto (t(s), \vec{x}(s)) \tag{3}\:.$$ Mirando el Lagrangiano (1), uno ve que es invariante bajo rotaciones espaciales. Que la simetría se extiende a soluciones de E-L ecuaciones. En otras palabras, tenemos que, si (3) es un geodesics, para $R\in SO(3)$, $$\mathbb R \ni s \mapsto (t(s), \vec{x}'(s)) := (t(s), R\vec{x}(s)) \tag{4}$$ es una geodésica así.

En consecuencia, debido a (2) tenemos la nueva constante de movimiento $$a(t(s))^2 \frac{d\vec{x}'}{ds}= a(t(s))^2 \frac{dR\vec{x}}{ds} = a(t(s))^2 R\frac{d\vec{x}}{ds} = R\vec{c}\tag{2'}$$ A menos $\vec{c}=0$(*), podemos girar esta constante vector con el fin de obtener, por ejemplo, $R\vec{c} = c \vec{e}_z$. Esto significa que el nuevo geodésica verifica $$a(t(s))^2 \frac{d\vec{x}'}{ds}\:\: ||\:\: \vec{e}_z$$ la distribución espacial de la parte es paralelo a $\vec{e}_z$. Voy a omitir el primer $'$ en el siguiente y supongo que lidiar con una geodésica espacial parte paralelo a $\vec{e}_z$ y por lo tanto, como $a\neq 0$, se tiene $x(s)= x_0$, $y(s)=y_0$ constantemente.

Finalmente vamos a suponer que el punto inicial de la línea geodésica es $\vec{x}(0) = \vec{x}_0$. Como el Lagrangiano es también invariante bajo espaciales traducciones, también tenemos que si (3) es una geodésica, para $R\in SO(3)$, $$\mathbb R \ni s \mapsto (t(s), \vec{x}'(s)) := (t(s), \vec{x}(s)+ \vec{r}_0) \tag{5}$$ es una geodésica así. La elección de $\vec{r}_0 := - \vec{x}_0$, tenemos una geodésica con $x(s)=y(s)=0$ a lo solicitado.

(*) Siempre podemos optar $\vec{c}\neq 0$ suponiendo que el primer vector tangente de la línea geodésica verifica este requisito (aviso que $a^2 \neq 0$). Y sabemos que hay un geodesics para cada elección de las condiciones iniciales.

Answer 2

Mi único problema es que, mientras que la de la obra anterior es obviamente correcto, existen en realidad las 6 de la Matanza de los vectores de la métrica FLRW, para la homogeneidad espacial (las 3 espaciales de arriba), y el 3 de rotaciones, que no es inmediatamente evidente a partir de la forma de la métrica anterior. De hecho, puede ser más útil para realizar una transformación de coordenadas, y escribir la métrica FLRW en el más estándar de la forma: $ds^2 = -dt^2 + a^2(t) \left[dr^2 + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2\right)\right]$, de esta forma, el $G_{3}$ isotropía grupo de alrededor de cada punto es bastante claro lo que implica, por definición, la existencia de una $G_{3}$ simplemente transitiva subgrupo, pero cualquier comentario sobre esto sería de gran ayuda.