Supongamos $$ Y = X^TAX, $$ donde $Y$ y $A$ son matrices simétricas reales conocidas de tamaño $n\times n$. La matriz desconocida $X$ está restringida a ser de tamaño $n\times n.
Creo que debería haber al menos una solución de valores reales para $X$. ¿Cómo resuelvo para $X$?
La solución del problema existe si y solo si las matrices (simétricas) $Y$ y $A$ tienen la misma inercia, es decir, tienen el mismo número de autovalores positivos, cero y negativos.
Toda matriz simétrica $S$ puede ser transformada por una transformación congruente (no singular) a una matriz diagonal $D$ con $+1$, $-1$, y/o $0$ en la diagonal (considerándolos ordenados, por ejemplo, primeros los $1$, luego los $0$, y luego los $-1$). ¿Cómo? Sea $S=U\Lambda U^T$ la descomposición en autovalores de $S$ tal que $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$. Entonces $S=(UC)\mathrm{sgn}(\Lambda)(CU^T)=(UC)\mathrm{sgn}(\Lambda)(UC)^T$, donde $C$ es una matriz diagonal tal que $(C)_{ii}=|\lambda_i|^{1/2}$ si $\lambda_i\neq 0$ y $(C)_{ii}=1$ (o cualquier otro valor no nulo) en caso contrario. Con $P=UC$ y $D=\mathrm{sgn}(\Lambda)$, obtenemos la transformación deseada $S=PDP^T$ introducida anteriormente.
Ahora, dado que tanto $Y$ como $A$ deben tener la misma inercia (ver la Ley de Inercia de Sylvester), tanto $Y$ como $A$ pueden ser transformadas de forma congruente a la misma matriz diagonal $D$ con $1$'s, $-1$'s, y/o $0$'s en la diagonal. Es decir, existen matrices no singulares $P_Y$ y $P_A$ tales que $$ Y=P_YDP_Y^T \quad\text{y}\quad A=P_ADP_A^T. $$ Por lo tanto, $$ P_Y^{-1}YP_Y^{-T}=P_A^{-1}AP_A^{-T} $$ y por lo tanto $$ Y=P_YP_A^{-1}AP_A^{-T}P_Y^T=(P_YP_A^{-1})A(P_YP_A^{-1})^T. $$ Una matriz $X$ que buscas es entonces $X=(P_YP_A^{-1})^T. Dicendo "una matriz", porque $X$ (igual que las transformaciones congruentes definidas anteriormente) no son únicas.
Una solución no es posible para todos $Y$ y $A.
Por ejemplo, supongamos que $\operatorname{rango}(Y)>\operatorname{rango}(A)$. Entonces $\operatorname{rango}X^\top AX\leq\operatorname{rango}(A)<\operatorname{rango}(Y)$, por lo que no podemos esperar igualdad.
Otra restricción es que $\det(Y)=\det(X)^2\det(A)$. Así que, por ejemplo, si el determinante de $Y$ y el determinante de $A$ tienen signos opuestos, no puede existir $X$.
El caso más natural donde tal ecuación tiene sentido es en el contexto de formas bilineales simétricas. En ese caso, se sabe que si $Y$ y $A$ tienen las mismas firma, entonces existe un $X$ no singular que satisface la ecuación, y la prueba de la ley de inercia de Sylvester proporciona un método para calcularlo.
Considere el caso $2\times2$ con \begin{align} X = \begin{bmatrix} x_1 & x_3\\ x_2 & x_4 \end{bmatrix},\quad A= \begin{bmatrix} a_1 & a_3\\ a_2 & a_4 \end{bmatrix},\quad Y= \begin{bmatrix} y_1 & y_3\\ y_2 & y_4 \end{bmatrix}. \end{align} Entonces \begin{align} \begin{bmatrix} y_1 & y_3\\ y_2 & y_4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1(a_1x_1+a_3x_2)+x_2(a_2x_1+a_4x_2) & x_1(a_1x_3+a_3x_4)+x_2(a_2x_3+a_4x_4)\\ x_3(a_1x_1+a_3x_2)+x_4(a_2x_1+a_4x_2) & x_3(a_1x_3+a_3x_4)+x_4(a_2x_3+a_4x_4) \end{bmatrix} \end{align> Esto puede generalizarse al caso $n\times n$, pero si $n$ es pequeño y se trata de una aplicación práctica, quizás sea suficiente ingresar estas ecuaciones no lineales en un sistema de álgebra computacional.
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