Una definición en Eisenbud ' s álgebra conmutativa

Question

En Eisenbud del álgebra conmutativa libro, se define un divisor de Weil a ser un elemento de la libre abelian grupo generado por codimension 1 primer ideales de un anillo de $R$. Entonces va a definir un divisor de Cartier como un elemento del grupo de los invertible ideales. (p. 261)

La relación entre su definición de divisor de Weil aquí y la definición habitual parece bastante sencillo. Sin embargo, estoy teniendo problemas para ver cualquier tipo de relación entre lo que él llama un divisor de Cartier y la definición habitual. Este es el único lugar que he visto de este grupo llamado el grupo de los divisores de Cartier. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Tienes razón: Eisenbud la definición no es el estándar .

Definición estándar : un divisor de Cartier en el esquema de $X$ es una sección global $D \in \Gamma(X,\mathcal K^*_X/ O^*_X)$ donde $\mathcal K$ es la sheaf de funciones racionales en $X$.
En el afín caso de $X=Spec(R)$, esto se traduce en $D\in (TotR)^*/R^*$ donde $Tot R$ es el anillo de fracciones de $S^{-1}R$ $S=$ el conjunto de no-cero divisores.

En la práctica, $D$ está dado por la apertura de un cubriendo$(U_i)$ $X$ y las funciones racionales $s_i\in \mathcal K^* (U_i)$, de tal manera que $s_i=g_{ij}\cdot s_j$$U_i\cap U_j$$g_{ij}\in \mathcal O^*(U_{ij})$.
A estos datos se puede asociar Eisenbud es invertible ideal gavilla $\mathcal O(D)\subset \mathcal K_X$, que se caracteriza por: $\mathcal O(D)|U_i=\frac{1}{s_i}\mathcal K_X|U_i$.
Esta correspondencia entre divisores de Cartier y invertible subsheaves de las funciones racionales va a isomorfismo de las clases y de los rendimientos de un isomorfismo entre el $Cacl(X)$, el aditivo grupo de clases de divisores de Cartier, y $Inv(X)$, el grupo multiplicativo de las clases de invertible fraccional ideal poleas, en otras palabras entre el estándar de punto de vista y Eisenbud.

Creo que Eisenbud adoptado su punto de vista porque en el afín caso de $X=Spec(R) $, la fracción de los ideales de $R$ son bastante elemental concepto y son ya conocidos por los estudiantes después de haber seguido de un primer curso de teoría algebraica de números.