La quinta matriz Gamma

Question

Esto es en cuanto a $\gamma^5$, la quinta matriz gamma en teoría cuántica de campos. Conozco sus características definitorias, es decir,

$$\gamma^5= -i\gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 $$

$\{\gamma^5,\gamma^{\mu}\}=0$ y $(\gamma^5)^2=1$, pero hasta ahora todos los que he utilizado estos para es para ayudar a probar algunas gamma identidades de matriz.

Parece obvio para mí que $\gamma^5$ depende de nuestra representación (Weyl o Dirac), así que mi idea original que es útil debido a la invarianza en la opción de base parece equivocado.

¿Qué nos gusta $\gamma^5$?

Answer 1

Una de las razones por $\gamma^5$ es importante es porque corresponde a una simetría de la masa de Dirac de Lagrange: $$ \mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi $$ y la transformación global: $$ \psi \a \psi' = e^{i \alpha \gamma^5} \psi \etiqueta{1} $$ A continuación, utilizando la identidad: $$ \{ \gamma^5,\gamma^\mu \} = 0 $$ podemos mostrar: $$ \gamma^\mu e^{i \alpha \gamma^5} = e^{-i \alpha \gamma^5} \gamma^\mu $$ Por lo tanto, es fácil ver que: $$ \bar{\psi} \a \bar{\psi}' = \bar{\psi} e^{ i \alpha \gamma^5} $$ Así, vemos que la transformación se expresa por la ecuación de $(1)$ es una simetría de la masa de Dirac de Lagrange: $$ \mathcal{L} \\mathcal{L}' = \mathcal{L} $$ que se conoce como la simetría axial. Esta simetría jugará un papel importante en el Modelo Estándar y sus anomalías. Estoy seguro de que usted va a estudiar esto en algún momento en el futuro.

Editar:

Como innisfree menciona en los comentarios, el uso de la $\gamma^5$ matrices, podemos formar el invariante de Lorentz proyección de los operadores: $$ P_{\pm} = \frac{1}{2} ( \mathbb{1} \pm \gamma^5) $$ de tal forma que: $$ P_+ P_+ = P_+ $$ $$ P_ - P_- = P_- $$ $$ P_+ P_- = P_ - P_+ = 0 $$ (Tenga en cuenta que las tres ecuaciones son válidas independientemente de la representación utilizada.) En el quirales representación, actúan sobre el Weyl spinor como: $$ P_+ \psi = \begin{pmatrix} 0 \\ \psi_R \end{pmatrix} $$ $$ P_- \psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ 0 \end{pmatrix} $$ Además, para una representación del álgebra de Clifford, utilizamos $\gamma^5$ a definir la izquierda y la mano derecha partes del campo,$\psi$: $$ \psi_R = P_+ \psi $$ $$ \psi_L = P_- \psi $$

Answer 2

En el modelo estándar y más generalmente en teoría cuántica de campos, la quinta matriz gamma tiene varios usos. La carga actual interacción $\psi_{u,d}$, $\psi_{d,u}$ y un $W^{\pm}_\mu$ lleva un factor de

$$V = \frac{ig}{\sqrt{2}}\gamma_\mu \frac{1-\gamma^5}{2}$$

Además, la quinta matriz gamma puede utilizarse para construir Lagrangianos con pseudo escalares, por ejemplo $\bar{\psi}\gamma^5 \psi$, o vectores axiales como $\bar{\psi}\gamma^5 \gamma^\mu \psi$.