¿El anillo de funciones continuas determinar $\mathbb R^n$?

Question

Tengo dos preguntas relacionadas con lo que se acaba de hacer la pregunta en el título más específico:

(a) Es cada anillo homomorphism (o quizás $\mathbb R$-álgebra homorphism) entre los anillos de la forma $\mathscr C(\mathbb R^n),$ ie. anillos de funciones continuas en Euclidiana espacios, de forma automática continua?

(b) ¿el obvio functor $\mathbb R^n\mapsto \mathscr C(\mathbb R^n)$ definir completamente fiel incrustación completo de la categoría de espacios topológicos se extendió por $\mathbb R^n$ todos los $n,$ en la categoría de (si es necesario topológico, dependiendo de cuál es la respuesta a (a)) y anillos de álgebras?

Soy consciente de que la respuesta a ambas preguntas es positiva cuando la atención se limita a las funciones lisas o, al $n$ es aún y podemos identificar a $\mathbb R^n$ $\mathbb C^{n/2},$ a holomorphic o incluso regular (en el sentido de la geometría algebraica) de las funciones. Sin embargo, es la continua, caso que me interesa.

Answer 1

Aquí están dos importantes teoremas de Gillman y Jerison, Anillos de Funciones Continuas, Van Nostrand 1960:

Teorema 8.3. Dos realcompact espacios de $X$ $Y$ son homeomórficos si y sólo si $C(X)$ $C(Y)$ son isomorfos como anillos.

Teorema 10.6. Deje $t:C(Y) \to C(X)$ ser un anillo homomorphism con la propiedad de que $t\mathbf{1} = \mathbf{1}$. Si $Y$ es realcompact, entonces existe una única asignación continua $\tau:X \to Y$ tal que $tf=f\circ \tau$ todos los $f \in C(Y)$.

La definición de realcompactness es un poco implicadas, pero cada Lindelöf espacio es realcompact, por lo que todos los subconjuntos de Euclídea espacios son demasiado. Esto demuestra que la respuesta a ambas preguntas es "sí".