Aquí están los detalles de Jonas la sugerencia. Deje $X$ ser uno mismo-adjoint con dominio denso $D(X)$, y deje $M$ ser un subespacio cerrado con $M\subseteq D(X)$$X(M)\subseteq M$. Deje $P$ ser la proyección ortogonal en $M$. A continuación, $D(PX) = D(X)$ mientras $D(XP)=H$ $P$ rango $M\subseteq D(X)$. Para $\xi\in H$, vamos a $\xi_0=P(\xi), \xi_1=\xi-P(\xi)$, y deje $\eta\in D(X)$. Entonces $$ (PX\eta|\xi) = (PX\eta|\xi_0) + (PX\eta|\xi_1) = (PX\eta|\xi_0)
= (X\eta|P\xi_0) = (X\eta|\xi_0) $$
como $PX\eta\in M$$\xi_1\in M^\perp$. Como $\xi_0\in M\subseteq D(X)$ $X$ es auto-adjunto,
$$ (X\eta|\xi_0) = (\eta|X\xi_0) = (\eta|PX\xi_0) = (P\eta|X\xi_0) = (XP\eta|\xi_0), $$
como $X\xi_0 \in X(M) \subseteq M$. Del mismo modo, $(XP\eta|\xi_1) = 0$$XP\eta \in X(M) \subseteq M$$\xi_1\in M^\perp$. Como $\xi$ fue arbitraria, esto demuestra que $XP\eta=PX\eta$. Hemos demostrado que
$$ D(PX) \subseteq D(XP), PX\eta=XP\eta \ (\eta\D(X)) \implica
PX \subseteq XP. $$
Como el OP reclamado, esto es suficiente. Si $e$ es un autovector de a$X$$PXe = P\lambda e = \lambda Pe$, y por el anterior, este también es igual a $XPe$. Por lo $Pe\in M$ es un autovector de a $X$ (a menos que sea cero!!!) Como la original colección de vectores propios se ha desne lineal lapso, también lo hace la proyección en $M$.
