Confusión en la prueba de propiedades de $\psi$-irreductibilidad

Question

Deje $P$ ser un kernel estocástico en un espacio medible $(\mathsf X,\mathfrak B(\mathsf X))$. El kernel $P$ se llama $\varphi$-irreducible si para una medida positiva $\varphi$, y para todos los conjuntos medibles $A$ sostiene que: $$ \etiqueta{1}\varphi(A)>0 \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{n\geq 1}P^n(x,A) >0 \quad \forall x\in \mathsf X. $$

Una de las afirmaciones de la Proposición 4.2.2 (p. 90 aquí) es que si $P$ $\varphi$- irreducible, entonces se cumple que $P$ $\psi$- irreductible donde la medida de $\psi$ está dado por $$ \psi(A) = \int\limits_\mathsf X \sum_{n\geq 0}2^{-(n+1)}P^n(x,A)\varphi(\mathrm dx). $$ La definición de $\psi$ no es importante para mi pregunta, sin embargo.

En la primera parte de la prueba, también la página 90, se indica lo siguiente

A ver (i), se observa que cuando se $\psi(A)>0$, entonces [...] $$ \etiqueta{2} \left\{y:\sum\limits_{n\geq 1}P^n(y,a)>0\right\} = \mathsf X. $$

Este hecho es más elaborada y utilizada para mostrar el $\psi$-irreductibilidad de $P$. A mí me parece, sin embargo, que el citado parte explícitamente implica irreductibilidad ya que es equivalente a $(1)$. Supongo que me estoy perdiendo algo - de lo contrario, es un argumento cíclico. También, no sé cómo mostrar $(2)$.

Answer 1

Estoy de acuerdo con usted en que $(2)$ es equivalente a $\psi$-irreductibilidad y que no está claro cómo los autores derivan $(2)$ a partir de dicha hipótesis.

En la prueba, el punto clave es que el $\varphi(\bar{A}(k))>0$ $k$ suficientemente grande donde

$$\bar{A}(k) := \left\{y; \sum_{n=1}^k P^n(y,A) >k^{-1} \right\}.$$

Aquí es la posibilidad de probar esto (sin el uso de $(2)$):

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Conjunto

$$K_{\frac{1}{2}}(y,A) := \sum_{n \geq 1} P^n(y,A) 2^{-(n+1)}.$$

Se sigue de la definición misma de $\psi$ que

$$\begin{align*} \psi(A) &= \int_{\bar{A}(k)} K_{\frac{1}{2}}(y,A) \, \varphi(dy) + \int_{X \backslash \bar{A}(k)} K_{\frac{1}{2}}(y,A) \, \varphi(dy). \end{align*}$$

Por la definición de $\bar{A}(k)$, tenemos

$$\begin{align*} \int_{X \backslash \bar{A}(k)} K_{\frac{1}{2}}(y,A) \, \varphi(dy) &= \int_{X \backslash \bar{A}(k)}\sum_{n=1}^k P^n(y,A) 2^{-(n+1)} \, \varphi(dy) + \int_{X \backslash \bar{A}(k)}\sum_{n=k+1}^{\infty} P^n(y,A) 2^{-(n+1)} \, \varphi(dy) \\ &\leq \int_{X \backslash \bar{A}(k)}\sum_{n=1}^k P^n(y,A) \, \varphi(dy) + \sum_{n=k+1}^{\infty} 2^{-(n+1)} \\ &\leq k^{-1} + \sum_{n=k+1}^{\infty} 2^{-(n+1)} \end{align*}$$

donde hemos utilizado que $\varphi(A) \leq 1$ para cualquier conjunto medible $A$. La combinación de ambos cálculos, obtenemos

$$ \int_{\bar{A}(k)} K(y,A) \, \varphi(dy) \geq \psi(A) - k^{-1} - \sum_{n=k+1}^{\infty} 2^{-(n+1)}.$$

Puesto que, por hipótesis, $\psi(A)>0$, esto demuestra que

$$ \int_{\bar{A}(k)} K(y,A) \, \varphi(dy) >0$$

para $k$ lo suficientemente grande. Esto implica $\varphi(\bar{A}(k))>0$. (Suponga que el $\varphi(\bar{A}(k))=0$, entonces el lado izquierdo de la ecuación anterior sería igual a $0$.) La parte restante de la prueba dada en la (vinculado), el libro pasa a través de.