Entiendo de trigonometría, pero nunca había utilizado funciones hiperbólicas.
¿Existe una fórmula para el área bajo $\tanh(x)$ ?
He mirado en Wikipedia et Wolfram pero no dicen si hay una fórmula o no.
Intenté resolverlo yo mismo y llegué hasta aquí:
$\tanh(x) = {\sinh(x)\over\cosh(x)} = {1-e^{-2x}\over 1+e^{-2x}} = {e^{2x}-1\over e^{2x}+1} = {e^{2x}+1-2\over e^{2x}+1} = 1-{2\over e^{2x}+1}$
Ahora estoy atascado. No sé si voy por buen camino o no.
La tangente hiperbólica se puede integrar. Primero simplificamos la fórmula, que puede deducirse fácilmente utilizando las definiciones del coseno hiperbólico y el seno hiperbólico y su relación:
$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1}$
Cuando se integre, obtendrá
$$\int \tanh(x) dx = \log(\cosh(x))+c$$
Fíjate, sabemos $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ & $\sinh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ por lo que el área bajo $\tanh(x)$ es
$$\int \tanh(x)\ dx=\int \frac{\sinh(x)}{\cosh (x)}\ dx$$ $$=\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\ dx$$ $$=\int \frac{d(e^x+e^{-x})}{e^x+e^{-x}}$$ deje $e^x+e^{-x}=t\implies d(e^x+e^{-x})=dt $ , $$=\int \frac{dt}{t}=\ln|t|+C$$ $$=\color{red}{\ln(e^x+e^{-x})+C}$$
En primer lugar, creo que se trata de una anotación engañosa. ¿Por qué sustituir $(e^x-e^{-x})dx$ por $d(e^x+e^{-x})$ ?
Muy bien, se hace sólo para la sustitución, aviso $$\frac{d}{dx}(e^x+e^{-x})=e^x-e^{-x}\implies d(e^x+e^{-x})=(e^x-e^{-x})dx$$
Creo que la forma más intuitiva en que la mayoría de la gente lo aprende, es definir una función $u:= e^x+e^{-x}$ tomar la derivada $\frac{du}{dx} = e^x-e^{-x}$ y plut esos dos en su expresión, y obtendrá $\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx = \int \frac{du}{u}$ que te permite incluso omitir ese paso que a mí me parecía tan confuso.
¿Por qué tantas sustituciones difíciles y jabbers? Basta con observar que podemos utilizar la fórmula de la derivada del logaritmo:
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\ \text{d} x = \ln(f(x)) + C$$
de ahí, habiendo $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)}$ es fácil obtener el resultado
$$\int\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\ \text{d}x = \ln(\cosh(x)) + C$$
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¿Tiene una fórmula para el área bajo $\tan$ ? En caso afirmativo, añada $h$ a todas las funciones trigonométricas que se produzcan. -Eso funciona, de verdad.
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Eso suena a magia=) ¿Puede explicar por qué funciona? En el caso de $\tan$ también tendrías que darle la vuelta al cartel, ya que $\int \tan x dx = - \log \cos x$
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¿Has mirado en Wikipedia? Mira de nuevo, sección Función hiperbólica # Integrales estándar . Dice $\int \tanh(ax)\, dx = a^{-1}\,\ln(\cosh(ax)) + C$ .
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@CiaPan Soy muy malo con los nombres de las funciones así que no me di cuenta de que el área bajo una curva se calcula con integrales hasta después de publicar la primera respuesta.
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No existe una fórmula para "el área bajo $\tanh(x)$ "porque es una afirmación sin sentido. Existe una fórmula para el área bajo el gráfico de $\tanh$ Sin embargo.