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¿Cuándo se pueden intercambiar una suma y una integral?

Supongamos que tengo 0n=0fn(x)dx0n=0fn(x)dx con fn(x)fn(x) siendo funciones continuas. ¿Cuándo podemos intercambiar la integral y la suma? ¿Es suficiente que fn(x)0fn(x)0 para todo xx y para todo nn? ¿Qué tal cuando fn(x)fn(x) converge absolutamente? Si es así, ¿por qué?

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Estoy acostumbrado a demostrarlo con el método de la convergencia monótona o el método de la convergencia dominada de Lebesgue. Pero esas no son muy precisas, creo. Hay muchas versiones de MC y LDC, así que no sé cuál conoces.

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Reto Meier Puntos 55904

Me gusta recordar esto como un caso especial de los teoremas de Fubini/Tonelli, donde las medidas son la medida de conteo en NN y la medida de Lebesgue en RR (o [0,)[0,) como lo has escrito aquí). En particular, el teorema de Tonelli dice que si fn(x)0fn(x)0 para todo n,xn,x, entonces fn(x)dx=fn(x)dxfn(x)dx=fn(x)dx sin necesidad de ninguna otra condición adicional. (También puedes demostrar esto con el teorema de convergencia monótona.)

Luego, el teorema de Fubini dice que para fnfn general, si |fn|<|fn|< o |fn|<|fn|< (por Tonelli las dos condiciones son equivalentes), entonces fn=fnfn=fn. (También puedes demostrar esto con el teorema de convergencia dominada.)

Puede haber condiciones más débiles que también podrían ser suficientes, pero estas tienden a funcionar en el 99% de los casos.


Elaborando a petición: la declaración usual del teorema de Fubini es algo así:

Permite que (X,F,μ),(Y,G,ν)(X,F,μ),(Y,G,ν) sean espacios de medidas σσ-finitos, y deja que g:X×YRg:X×YR sea medible con respecto al producto de las σσ-álgebras FGFG. Supongamos que XY|g(x,y)|ν(dy)μ(dx)XY|g(x,y)|ν(dy)μ(dx) es finito. (Nota: Por el teorema de Tonelli, esto ocurre si y solo si YX|g(x,y)|μ(dx)ν(dy)YX|g(x,y)|μ(dx)ν(dy) es finito, ya que ambas integrales iteradas son iguales). Entonces XYg(x,y)ν(dy)μ(dx)=YXg(x,y)μ(dx)ν(dy).XYg(x,y)ν(dy)μ(dx)=YXg(x,y)μ(dx)ν(dy).

Deja que X=RX=R, FF sea la μμ la medida de Lebesgue. Deja que Y=NY=N, G=2NG=2N sea la νν la medida de conteo. Define g(x,n)=fn(x)g(x,n)=fn(x). Ejercicio: dado que cada fnfn es medible, verifica que gg es medible con respecto a FGFG. Ejercicio: verifica que la integración con respecto a la medida de conteo es lo mismo que la suma, donde la integral existe y es finita si y solo si la suma converge absolutamente. (Es decir, dado una secuencia de números reales anan, define una función b:NRb:NR por b(n)=anb(n)=an. Luego Nbdν=n=1anNbdν=n=1an.)

Como tal, la conclusión del teorema de Fubini se reduce a la declaración que se quería demostrar.

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Estoy un poco confundido porque primero dices que fn(x)dx=fn(x)dxfn(x)dx=fn(x)dx se cumple si fn(x)0fn(x)0, lo cual implica que incluso si la integral doble no es finita, la igualdad sí se cumple, y luego mencionas el teorema de Fubini que dice que las dos integrales son iguales si la integral doble es finita. ¿Podrías explicarme esto? Probablemente sea una pregunta muy tonta, pero me hace sentir muy incómodo.

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Sí, eso es lo que dije - no estoy seguro de qué parte te está confundiendo. ¡Nota que no dije "si y solo si"! Los dos teoremas presentan dos hipótesis diferentes, cada una de las cuales conduce a la misma conclusión. (Y ten en cuenta cuidadosamente la aparición de las barras de valor absoluto en la hipótesis del teorema de Fubini).

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Ah eso era mi confusión. Estaba pensando en el caso en que fn(x)0fn(x)0 y fn(x)fn(x) y por lo tanto, el teorema de Fubini sería inválido (pero afortunadamente como mencionaste, no es "si y solo si"). Gracias por aclararlo Nate, aunque fue una pregunta estúpida.

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Shaun Austin Puntos 2512

Este es un teorema que funcionará:

Teorema. Si {fn}n{fn}n es una secuencia positiva de funciones integrables y f=nfnf=nfn entonces f=nfn.f=nfn.

Prueba. Considera primero dos funciones, f1f1 y f2f2. Ahora podemos encontrar secuencias {ϕj}j{ϕj}j y {ψj}j{ψj}j de funciones simples (no negativas) mediante un teorema básico de teoría de la medida que aumentan hacia f1f1 y f2f2 respectivamente. Obviamente ϕj+ψjf1+f2ϕj+ψjf1+f2. Podemos hacer lo mismo para cualquier suma finita.

Observa que N1fn=N1fnN1fn=N1fn para cualquier NN finito. Ahora, usando el teorema de convergencia monótona, obtenemos

fn=f.fn=f.

Nota 1: Si se trata de funciones positivas, la convergencia absoluta es la misma que la convergencia normal, ya que |fn|=fn|fn|=fn.

Nota 2: Las funciones continuas serán ciertamente integrables si tienen soporte compacto o tienden a 00 lo suficientemente rápido cuando x±x±.

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@JonasTeuwen ¿Qué significa ϕjf1ϕjf1 ? No estoy familiarizado con esta notación.

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Esto significa que {ϕj}{ϕj} es una secuencia monótonamente no decreciente de funciones que converge a f1f1 punto a punto.

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¿Se llama este teorema Beppo-Levi?

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jmerry Puntos 219

La mayor parte del tiempo suelo usar las condiciones de Fubini/Tonelli, pero el teorema de convergencia dominada es en realidad estrictamente más fuerte en este caso mixto de suma/integral, porque puede tener en cuenta la estructura de orden de los enteros. Un ejemplo (que primero trabajé en [2009])(http://artofproblemsolving.com/community/c7h294262p1593291):

Considera el cálculo ln2=1011+xdx=10n=0(1)nxndx?=n=010(1)nxndx=112+1314+ El teorema de Fubini no es lo suficientemente fuerte para justificar el intercambio. Si ponemos valores absolutos en los términos, se dispara a 1011xdx=1+12+13+14+=.

Por otro lado, el teorema de convergencia dominada se preocupa por las sumas parciales Nn=0(1)nxn. Usando la estimación de series alternadas, 0Nn=0(1)nxn1 para todo x[0,1]. 1 es integrable en este intervalo, y el intercambio 10(limNNn=0(1)nxn)dx=limN10Nn=0(1)nxndx está justificado, probando el resultado 112+1314+=ln2.

Esta situación con el teorema de convergencia dominada siendo más fuerte que el teorema de Fubini puede surgir cuando tenemos un límite razonable en las sumas parciales pero no una convergencia absoluta en su totalidad.
Por otro lado, el teorema de convergencia monótona es exactamente igual que el teorema de Tonelli: cuando todo es positivo, ambos lados son iguales y finitos o ambos lados son infinitos.

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¿Cómo aplicas el Criterio de Convergencia de Dirichlet cuando x=1? El integrando en el lado izquierdo (limNNn=0(1)nxn) no está definido en x=1

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@alphacapture Eso es solo un punto, que se puede ignorar con la integral de Lebesgue.

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