Me gusta recordar esto como un caso especial de los teoremas de Fubini/Tonelli, donde las medidas son la medida de conteo en NN y la medida de Lebesgue en RR (o [0,∞)[0,∞) como lo has escrito aquí). En particular, el teorema de Tonelli dice que si fn(x)≥0fn(x)≥0 para todo n,xn,x, entonces ∑∫fn(x)dx=∫∑fn(x)dx∑∫fn(x)dx=∫∑fn(x)dx sin necesidad de ninguna otra condición adicional. (También puedes demostrar esto con el teorema de convergencia monótona.)
Luego, el teorema de Fubini dice que para fnfn general, si ∫∑|fn|<∞∫∑|fn|<∞ o ∑∫|fn|<∞∑∫|fn|<∞ (por Tonelli las dos condiciones son equivalentes), entonces ∫∑fn=∑∫fn∫∑fn=∑∫fn. (También puedes demostrar esto con el teorema de convergencia dominada.)
Puede haber condiciones más débiles que también podrían ser suficientes, pero estas tienden a funcionar en el 99% de los casos.
Elaborando a petición: la declaración usual del teorema de Fubini es algo así:
Permite que (X,F,μ),(Y,G,ν)(X,F,μ),(Y,G,ν) sean espacios de medidas σσ-finitos, y deja que g:X×Y→Rg:X×Y→R sea medible con respecto al producto de las σσ-álgebras F⊗GF⊗G. Supongamos que ∫X∫Y|g(x,y)|ν(dy)μ(dx)∫X∫Y|g(x,y)|ν(dy)μ(dx) es finito. (Nota: Por el teorema de Tonelli, esto ocurre si y solo si ∫Y∫X|g(x,y)|μ(dx)ν(dy)∫Y∫X|g(x,y)|μ(dx)ν(dy) es finito, ya que ambas integrales iteradas son iguales). Entonces ∫X∫Yg(x,y)ν(dy)μ(dx)=∫Y∫Xg(x,y)μ(dx)ν(dy).∫X∫Yg(x,y)ν(dy)μ(dx)=∫Y∫Xg(x,y)μ(dx)ν(dy).
Deja que X=RX=R, FF sea la μμ la medida de Lebesgue. Deja que Y=NY=N, G=2NG=2N sea la νν la medida de conteo. Define g(x,n)=fn(x)g(x,n)=fn(x). Ejercicio: dado que cada fnfn es medible, verifica que gg es medible con respecto a F⊗GF⊗G. Ejercicio: verifica que la integración con respecto a la medida de conteo es lo mismo que la suma, donde la integral existe y es finita si y solo si la suma converge absolutamente. (Es decir, dado una secuencia de números reales anan, define una función b:N→Rb:N→R por b(n)=anb(n)=an. Luego ∫Nbdν=∑∞n=1an∫Nbdν=∑∞n=1an.)
Como tal, la conclusión del teorema de Fubini se reduce a la declaración que se quería demostrar.
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Estoy acostumbrado a demostrarlo con el método de la convergencia monótona o el método de la convergencia dominada de Lebesgue. Pero esas no son muy precisas, creo. Hay muchas versiones de MC y LDC, así que no sé cuál conoces.
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math.stackexchange.com/questions/1334907