Análisis funcional y Homeomorfismo lineal

Question

He aquí una pregunta en uno de nuestros ejercicios de la lista :

Deje $E$ ser una normativa espacio vectorial, $F$ ser un espacio de Banach y $T : E \to F$ lineal continuo de la aplicación. Definir $$ E/\mathrm{Ker} (T) = \{ [x] \} $$ donde $[x]$ es la clase de equivalencia de a $x \in E$, es decir,$[x] = \{ x + y \, | \, y \in \mathrm{Ker} (T )\}$. Este espacio es una normativa espacio vectorial con la siguiente norma : $$ \Vert[x]\Vert = \inf \{ \Vert y \Vert \, | \, y \in [x] \}. $$ Definir $[T] : E / \mathrm{Ker}(T) \to \mathrm{Im}(T)$$[T]([x]) = T(x)$. Supongamos que $\mathrm{Im}(T)$ es cerrado. Mostrar que $[T]$ es un homeomorphism (es decir, su inversa es lineal y continua.

Ahora aquí está la cosa, esta pregunta resulta ser difícil (y más probablemente falso) porque mi maestro hizo un error y por lo tanto olvidó mencionar que el $E$ iba a ser un espacio de Banach para esta pregunta. Así que yo trabajaba para un par de días y sólo se las arregló para mostrar lo siguiente :

• $[T]$ es un homeomorphism si y sólo si $E/\mathrm{Ker}(T)$ es un espacio de Banach.

• Si $E/\mathrm{Ker}(T)$ no es de Banach (es decir, no completa), existe una secuencia de Cauchy $\{ [y_n] \}$ tal que $\Vert [y_n] \Vert \to A > 0$ pero $[T]([y_n]) \to 0$.

Ahora, aquí está mi pregunta.

¿Cualquier persona puede encontrar un contraejemplo para mostrar que este ejercicio es falso (que es probablemente el caso), o demostrar lo contrario (que no tengo ninguna esperanza en hacer)?

Answer 1

Tomar una discontinuo lineal funcional $\varphi \colon E \to \mathbb{R}$ en el infinito-dimensional espacio de Banach $(E,\lVert \cdot \rVert_{E})$. Definir una nueva norma $\lVert x \rVert_{\rm new} = \lVert x\rVert_E + \lvert \varphi(x)\rvert$$E$. A continuación, el mapa de identidad $T \colon (E,\lVert \cdot \rVert_{\rm new}) \to (E, \lVert \cdot \rVert)$ proporciona un contraejemplo.

Observar que $(E,\lVert \cdot \rVert_{\rm new})$ no puede ser completa por la asignación abierta teorema: si no $T^{-1}$ será continua y, por tanto, $\varphi \circ T^{-1} = \varphi$ sería continua en $(E,\lVert \cdot \rVert_{E})$.

Para la construcción de un discontinuo lineal funcional, elegir un linealmente independientes de la secuencia de vectores unitarios $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Set $\varphi(e_n) = n e_n$ y deje $\varphi = 0$ en un complemento de la lineal lapso de $\{e_n\}_{n \in \mathbb{N}}$.