¿Por qué elegimos función exponencial como una solución de prueba para la segunda orden ecuación diferencial linear con coeficiente constante?

Question

¿Por qué elegimos función exponencial como una solución de prueba para la segunda orden ecuación diferencial linear con coeficiente constante? ¿Se pueden tomar otras funciones como solución de ensayo?

Answer 1

Considere la posibilidad de un lineal homogénea de segundo orden ODE con coeficientes constantes, dicen $$ay''+by'+cy=0.$$ Denotar por $E$ el espacio vectorial real de los valores de las funciones de la clase $C^\infty$ $\mathbb{R}$ y definir el endomorfismo $\partial$ $E$ $$\forall f\in E,\ \partial f=f'$$ (sí, sólo la derivada).

La ecuación puede ser escrita como $$\bigl(a\partial^2+b\partial+c\text{id}\bigr)y=0,$$ (donde $\text{id}$ denota la identidad endomorfismo de $E$) así que las soluciones puede ser visto como el núcleo de la endomorfismo $\bigl(a\partial^2+b\partial+c\bigr)$.

Ahora el factor (en $\mathbb{C}$ si es necesario) el polinomio $aX^2+bX+c$, dicen $$aX^2+bX+c=a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2).$$ Es sencillo comprobar que $$a\partial^2+b\partial+c\text{id}=a(\partial-\alpha_1\text{id})\circ(\partial-\alpha_2\text{id}).$$ Si usted golpea no los números reales en la anterior factorización, puede que desee ampliar su campo de escalares a $\mathbb{C}$ y considerar la posibilidad de $E\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ en lugar de $E$.

Los vectores propios de a $\partial$ la exponenciales, es bastante natural para el uso de ellos.

De hecho, esta factorización de la pseudo-operador diferencial en el espíritu de las álgebras de Weyl conduce a una prueba interesante de la forma de las soluciones de la educación a distancia.

Con este punto de vista, parece natural que no hay sensato juicio de las demás funciones de los elementos en la característica de los espacios de $\partial$, es decir, las funciones de la forma $$x\mapsto P(x)\mathrm{e}^{\lambda x}$$ donde $P$ es una función polinómica y $\lambda\in\mathbb{R}$ o $\lambda\in\mathbb{C}$. En el caso de $\alpha_1=\alpha_2$ veremos que este tipo de soluciones.

Todo esto se puede generalizar a ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, con coeficientes constantes; para que no sea constante coeficientes puede, dependiendo de cómo los coeficientes son, hacer un estudio similar. Con que no sea constante coeficientes, el problema estará en la factorización de la pseudo-operador diferencial.

Answer 2

El % de la función exponencial $e^{\lambda x}$es especial porque su derivada es un múltiplo de sí mismo. Por lo tanto, sustituyendo en la Oda da una ecuación cuadrática en $\lambda$, que es fácil de resolver. En general, este método nos da todas las soluciones posibles a la Oda y utilizando otras funciones como adivinar las soluciones no funcionan.

Answer 3

Si $y'=ay$ considera $z=e^{-ax}y$. Tenemos $z'=-ae^{-ax}y+e^{-ax}y'=e^{-ax}(y'-ay)=0$

Es elemental, a continuación, que $z=A$ donde $A$ es una constante y, por tanto, $y=Ae^{ax}$

Ahora supongamos que $$y''-(a+b)y'+aby=0$$ and take $p=y'-ay; p=y'-por$ so that we find $$p'-bp=0; q'-aq=0$$

de donde (desde el primer resultado) $$y'-ay=p=Ae^{bx}; y'-by=q=Be^{ax}$$

Ahora teniendo en cuenta $p-q$ eliminamos $y'$ dar $$(b-a)y=Be^{ax}-Ae^{bx}$$, Que es una solución de la forma que quería - y la lógica (que depende del valor medio teorema) muestra que este es el inevitable forma de la solución a la ecuación, que es la razón por la que elegimos como una solución de prueba y determinar las constantes de las condiciones de frontera, si es necesario.

Obviamente, esto va mal al $a=b$, pero voy a dejar de explorar ese caso sí mismo.