Una función continua de valor complejo que es holomorphic fuera de sus ceros

Question

Que $D$ ser un no-vacío conectado subconjunto abierto de $\mathbb{C}^n$. Que $f$ sea una función continua de valor complejo en $D$. Sea $Z$ el conjunto de ceros de $f$. Supongamos que es de $f$ holomoprphic $D - Z$. ¿Es holomorfa de $f$ $D$?

Answer 1

Creo que la respuesta a tu pregunta es sí. Probablemente hay una respuesta mejor que esto, pero creo que el siguiente argumento debería funcionar.

Para cada una de las $M\in \mathbb{R}$, vamos a $\varphi_M\colon D\to \mathbb{R}$ ser la función de $\varphi_M(z) = \max(M, \log|f(z)|)$. Esta función es plurisubharmonic en $D$, e $\lim_{M\to -\infty} \varphi_M(z) = \log |f(z)|$ por cada $z\in D$. Desde la disminución de los límites de plurisubharmonic funciones son plurisubharmonic, llegamos a la conclusión de que la función de $\log|f(z)|$ es plurisubharmonic en $D$. En particular, $Z$ es un pluripolar conjunto. Entonces, uno puede utilizar el siguiente resultado a la conclusión de que la $f$ es holomorphic en $D$.

Deje $D\subset\mathbb{C}^n$ ser abierto, y deje $Z$ ser un cerrado pluripolar subconjunto de $D$. Supongamos $f$ es holomorphic en $D\smallsetminus Z$. Si $f$ es localmente acotada en cada punto en $Z$, $f$ se extiende a un holomorphic de la función en $D$.

Para la referencia, véase el Corolario 5 del Capítulo Q del Volumen 1 de Introducción a la holomorphic funciones de varias variables por Gunitado de hormigón armado.

Answer 2

Esta es una verdadera y es un Teorema debido a Rado. Hay algunas muy bonitas las pruebas de Rado del Teorema en el caso de $n=1$, véase, por ejemplo, Rudin, Reales y Complejos análisis de la 3ª edición Teorema 12.14.

Para el caso general, se puede utilizar pluripotenciales de la teoría como en froggie la respuesta, pero creo que el problema puede ser reducido para el caso unidimensional.

Por desgracia Rado del Teorema parece ser difícil de encontrar en los libros de texto. Le sugiero que google "Rado del Teorema de varias variables complejas"; lo que le da algunas buenas referencias.