Aclaración sobre "Fourier inverso transforma de $(1 \pm \hat{f}(w))^{-1}$"

Question

La pregunta original:

Supongamos que tenemos una función real $f(t)$ con transformada de Fourier de $\hat{f}(w)$.

Se puede decir cualquier cosa acerca de la inversa de la transformada de Fourier de $\frac{1}{1\pm\hat{f}(w)}$?

Una respuesta (edit: la respuesta fue eliminado, y ahora es un comentario sobre la pregunta original):

En resumen, si la función de $\frac{1}{1\pm\hat{f}(w)}$ pertenece al Schwartz clase, entonces su inversa de la transformada de Fourier existe y viceversa. Vea aquí.

Para citar Ron Gordon pregunta, ¿bajo qué condiciones es $\frac{1}{1\pm\hat{f}(w)}$ Schwartz?

Answer 1

Estoy vergonzosamente oxidado con este tipo de análisis honesto, pero aquí está mi puñalada en ella.

Supongamos que $\tfrac{1}{1\pm \hat{f}(w)}$ es de Schwartz. Entonces, en particular, para cada multi-índice de $\alpha$, $$C_\alfa := \sup_w \left| \frac{w^\alpha}{1 \pm \hat{f}(w)} \right| < +\infty,$$ así que para todos los $w$, $$\left| \frac{w^\alpha}{1 \pm \hat{f}(w)} \right| \leq C_\alpha,$$ y por lo tanto $$\left|\sombrero{f}(w)\right| \geq \left|1\pm \hat{f}(w)\right|-1 \geq \frac{1}{1+C_\alpha}|w^\alpha| - 1.$$ Por lo tanto, $\left|\hat{f}(w)\right|$ crece super-exponencialmente como $\|w\| \to +\infty$, y, por tanto, $f$ puede ser una base de distribución, por no hablar de un elemento de algunos $L^p$ espacio para $p \geq 1$.