Ángulo de eje de Quaternions vs

Question

¿Cuál es el uso de representar rotación con cuaterniones en comparación con la representación del ángulo de eje normal? He estado tratando de aprender quaternions y hacen bastante sentido pero lo que puedo decir cuaterniones son sólo ángulo de ejes con un eje de transformación y ángulo de rotación. ¿Cómo transformar el eje y el ángulo de la rotación afecta la matriz en vez de sólo representar normalmente a través del ángulo de eje?

Answer 1

Creo que la mejor manera de entender la ventaja de cuaterniones es considerar como una extensión del espacio tridimensional de la representación de las rotaciones en el plano de los números complejos.

Como una rotación de ángulo de $\theta$ alrededor del origen en el plano se representa de una forma muy sencilla y expresiva, por el complejo de número de $e^{i\theta}$, por lo que una rotación de un ángulo $2\theta$ en el espacio, alrededor de un eje que pasa por el origen, es representado por una cuádrupla $e^{\mathbf{u}\theta}$ donde $\mathbf{u}$ es el imaginario de cuaterniones que corresponden a la unidad de vector orientado a lo largo del eje de rotación. Así que tenemos la correspondencia: $$ \vec{w}=R_{\mathbf{u},\theta} \; \vec{v} \quad \longleftrightarrow \quad \mathbf{w}= e^{\mathbf{u}\theta/2}\mathbf{v}e^{-\mathbf{u}\theta/2} $$

Por ejemplo, dada la rotación alrededor del eje que pasa por el origen y el punto de coordenadas $(1,1,1)$ y el ángulo de $\theta=\pi/2$, es fácil escribir el correspondiente cuádrupla: $$ e^{\frac{\theta}{4}\frac{ (\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})}{\sqrt{3}}} $$ que es más sencillo y más expresiva, a continuación, la matriz correspondiente. Y, utilizando las propiedades de los cuaterniones, que fácilmente se puede demostrar propiedades correspondientes para las rotaciones, como:

revertir el versor es equivalente a la inversa de la rotación: $\quad e^{\theta(-\mathbf{u})}=e^{-\theta\mathbf{u}}$

rotaciones sobre el eje de conmutar: $\quad e^{\theta\mathbf{u}}e^{\psi\mathbf{u}}=e^{\psi\mathbf{u}}e^{\theta\mathbf{u}}=e^{(\theta+\psi)\mathbf{u}}$

pero rotación alrededor de diferentes ejes no : $ \quad \quad e^{\theta\mathbf{u}}e^{\theta\mathbf{v}}\ne e^{\theta\mathbf{v}}e^{\theta\mathbf{u}} \ne e^{\theta(\mathbf{u}+\mathbf{v})}$

y resolver problemas acerca de rotaciones (como en la Rotación de la Equivalencia usando Cuaterniones).

Y más: podemos ver fácilmente (en analogía con $U(1)$ para los números complejos) que la unidad de cuaterniones forma un grupo bajo la multiplicación, correspondiente a la 3-esfera $S^3$, que es una doble cubierta de $ SO(3,\mathbb{R})$ cuando la exponencial $e^z$ es el enlace canónico entre Lie y álgebras de Lie grupos.

Obviamente, usted puede probar todas estas cosas, incluso en el formalismo de las matrices, pero el uso de los cuaterniones parece más sencillo y expresivo.

Finalmente, el uso de los cuaterniones es también útil desde el punto de vista computacional, ya que es simple de implementar y permite evitar algunos problemas, como se indica en la página de la Wikipedia, citado por @Alejandro Gruber.

Answer 2

Por lo que entiendo un cuaternión es un vector unitario en una hiper-esfera (que es una esfera dimensional). Y si multiplicas dos quaternions que un cuaternión hacia fuera otra vez representando la rotación combinada. Usted no puede hacerlo fácilmente con dos pares de ejes/ángulo.

Answer 3

Hay mucha información en la sección ventajas de cuaterniones del artículo de Wikipedia.