¿Cuál es la definición correcta de un grupo?

Question

¿Cuál es la definición correcta de un grupo? Más precisamente, el predicado "ser un grupo"? De acuerdo a Wikipedia

Un grupo es un conjunto, G, junto con una operación • (llamado el grupo de la ley de G) que...

¿Cómo se debe interpretar esto?

$\textbf{Definición de Un)}\\ \quad \quad G \text{ es un conjunto},\\ \quad \quad +:G\times G\G \\ \langle G,+\rangle \text{ es un grupo} :\ffi\\ \quad \quad +\text{ es asscociative},\\ \quad \quad \exists 0\G : \forall x\in G:x+0=0+x=x \text{ y } \existe y:x+y=y+x=0 $

o

$\textbf{Definición B)}\\ \quad \quad G \text{ es un conjunto}\\ G \text{ es un grupo} :\ffi\\ \quad \quad \exists +:G\times G\G:\\ \quad \quad \quad +\text{ es asscociative},\\ \quad \quad \quad \exists 0\G : \\ \quad \quad \quad \quad\forall x\in G:x+0=0+x=x \text{ y } \existe y:x+y=y+x=0 $

Y es independiente de la noción de "$G$ que es un grupo con la operación $+$"?

Answer 1

La definición es la interpretación correcta.

Un grupo es un par de $(G,+) $ donde $G $ es un conjunto y $+$ es una función de $G\times G $ $G $la satisfacción de ciertas propiedades.

Quizás la confusión, el grupo también se llama $G $ (a menudo). Así que dos entidades diferentes -- el grupo, y el conjunto subyacente, que puede ser contemplado por el mismo nombre. Por ejemplo, si alguien dice:"$g \in G $", entonces aquí $G $ se refiere a que el conjunto subyacente. Sería demasiado laborioso para el uso de diferentes nombres para el grupo y para el conjunto subyacente.

Answer 2

Apareces a preguntar si por un lado un conjunto es un grupo, si una operación con las correcta propiedades existe, o por el contrario si el grupo está compuesto por el conjunto y la operación.

La definición correcta es que el grupo se encuentra junto a la operación.