Es $10$ h, y tengo una caja. Dentro de la caja es una bola marcada $1$.
En $10$:$30$, voy a quitar la bola marcada $1$, y añadir dos bolas, con la etiqueta $2$$3$. En $10$:$45$, voy a quitar las bolas marcadas $2$$3$, y agregar $4$ bolas, marcado $4$, $5$, $6$, y $7$. $7.5$ minutos antes de $11$, voy a quitar las bolas de la etiqueta $4$, $5$, y $6$, y agregar $8$ bolas, con la etiqueta $8$, $9$, $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, y $15$. Este patrón continúa. Cada vez que alcance el punto medio entre mi acción anterior y $11$ h, agrego algunas pelotas, y quitar algunas otras bolas. Cada vez que me retire uno de los más bola que me quita la última vez, pero agregar dos veces tantas bolas como he añadido la última vez.
El resultado es que a medida que se acerca más y más a $11$, el número de bolas en el cuadro que sigue aumentando. Sin embargo, cada pelota que le puse fue finalmente eliminado. Así que, ¿cuántas bolas serán en el cuadro cuando el reloj marque las $11$? $0$, o infinitamente muchos? ¿Qué está pasando aquí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
[Edit.] Estoy editando mi respuesta para tratar de dar un poco más de conocimiento, impulsado por los comentarios en mi respuesta original. Espero que para lograr una mejor idea de lo que está pasando aquí.
La respuesta corta es que lo importante no es el tamaño del conjunto de bolas en cualquier momento en particular, sino más bien como el conjunto de bolas de cambios; y, finalmente, cuál es el límite de los conjuntos. La clave es determinar cuál es ese límite y, a continuación, determinar cuántas bolas hay en que la limitación de conjunto. La respuesta es que el límite es el conjunto vacío, que tiene tamaño 0. El resto de esta respuesta está dedicado a la descripción de esta en algunos detalles.
Parte de lo que he añadido a mi respuesta es señalar que, aunque existen varias formas de medir la convergencia en términos de diferentes normas en funciones características — sólo uno de estos en realidad define el límite de la secuencia, y en este caso el límite está bien definido.
Lo que importa no es el número de bolas, pero el conjunto de bolas de
En este problema, tenemos más que sólo un número de bolas que cambia con el tiempo. Lo que es diferente es que cada una de estas bolas tiene una única identidad.
Esto podría no parecer es importante, pero no significa que el estado de el "sistema" no es una cantidad de pelotas, pero un conjunto de bolas. Que tiene un cierto tamaño, pero el tamaño es un derivado de la característica del sistema; se sigue de que conjunto de bolas que se presente. Por lo que es importante determinar cuál es el límite de la secuencia de conjuntos.
Descripción del problema en términos de conjuntos de
Vamos a considerar cómo el conjunto de bolas en la caja de cambio con el tiempo en el juego que usted presente. En el paso n, agregar 2n bolas, y quitar el n de menor bolas numeradas. El "estado del sistema" está dada por los siguientes conjuntos:
S(0) = {1}
S(1) = {2,3}
S(2) = {4,5,6,7}
S(3) = {7,8,9,10,11,12,13,14,15}
S(4) = {11,12,...,31}
etc.
Tenga en cuenta que después del paso 1, la primera bola se retira, nunca se añadió de nuevo; así que no es un elemento del conjunto final. Del mismo modo, en el paso 2, la segunda y la tercera bolas se retiran, nunca se añadió de nuevo; así que no son elementos del conjunto final. Y así sucesivamente. Así que... ninguna de las bolas en el conjunto final. Entonces, no debe estar vacío! No importa que el número de bolas en la secuencia están aumentando; lo que importa es que el número de bolas que nunca volverá a ser en la caja también está aumentando, y en el límite incluye todos los de las bolas.
Podemos hacer esto más notable considerando, para cada paso n, el conjunto de bolas de I(n), que está en el conjunto S(t) para todo t ≥ n, es decir, I(n) = S(n) ∩ S(n+1) ∩ S(n+2) ∩ ... . Porque cada bola es finalmente eliminado, nunca se añadió de nuevo; esto significa que
I(0) = I(1) = I(2) = ... = ∅.
Así, mientras que la descripción original hace que se vea como, de momento-a-momento, el estado final de la caja debe ser infinitamente muchas bolas, una más "progresista" enfoque muestra que es claro que el estado final de la caja está vacía.
Un análisis en términos de funciones características
Podemos contrastar la "intuitivo" respuesta de infinidad de bolas en la caja, y la respuesta más precisa que en última instancia no son las bolas en la caja, uso de funciones características: es decir, podemos reemplazar cada conjunto S(n) por una función fn : ℕ → {0,1} que es 1 para los números enteros pertenecientes a S(n), y 0 en caso contrario.
Considerar las diversas p-normas sobre estas funciones. La cardinalidad de cada conjunto S(n) es precisamente igual a la 1 de la norma de la función fn , que crece sin límite. El hecho de que el 1-norma crece sin límite — y, en particular, la distancia entre la función fn y la función cero 0 en el 1-norma crece sin límite — es esencialmente la fuente de la mayoría de la intuición de la gente sobre este problema, y exactamente la razón por la que consideran ilógico que el conjunto final debe estar vacía.
Pero así como el tamaño de un conjunto es un derivado de la cantidad, la norma de una función o de una secuencia de funciones — es también un derivado de la cantidad; y la norma de que el límite de una secuencia de funciones no es necesariamente el límite de las normas. De hecho, las funciones fn no converge para cualquier cosa, en cualquier de los p-normas; simplemente se aparta para nada en particular.
Pero hay al menos una noción de convergencia que se aplica a las funciones fn , y que es punto de sabio-convergencia — la forma de la convergencia, que es el más amplio, en el sentido de que se aplica a la mayoría de los casos (y con la cual todas las demás nociones de convergencia debe estar de acuerdo, si se demuestra que una secuencia de funciones converge en todos). Podemos simplemente mostrar que para cada x, se tiene fn(x) = 0 para suficientemente grande n. A continuación, se deduce que la secuencia fn converge a 0.
El hecho de que la secuencia fn no converge a 0 en cualquiera de las p-normas no importa; en última instancia, lo que importa es que la secuencia converge punto de sabio, porque lo que nos interesa es la cardinalidad del límite de sí mismo, que se define en términos de punto de sabio convergencia. En el peor de los casos, a partir de un cierto punto de vista estético, se podría decir que no convergen en particular con gracia (informalmente hablando) a 0; pero de hecho convergen, y que es todo lo que importa.
Así: utilizando la característica de las funciones, que en el fondo es equivalente a la de los conjuntos descritos en el primer lugar, uno puede mostrar que la secuencia de conjuntos de hace converger, y lo que converge a es el conjunto vacío. Pero tener el consuelo de que su intuición de que se debe no refleja una cierta conciencia de que el concepto de p-normas. :-)
Las pelotas. Si $B(t)$ es el número de bolas en la caja en el momento $t$, entonces como usted dice, $B(t)$ está aumentando, y $\lim_{t \to 11}B(t) = +\infty$. Pero, como cada pelota ha sido eliminado, $B(11)=0$. Todo esto está muy bien. La "paradoja" como yo lo veo es que en un principio se espera que la función de $B$ ser continua en algún sentido, pero a priori no hay ninguna razón por la que debería ser, y de hecho no lo es.
Siempre he pensado que este tipo de puzzles es un maravilloso ejemplo de la diferencia entre el comportamiento de acercarse a un límite, frente a un comportamiento EN el límite.
Usted puede hacer el puzzle más revelador como este:
Decir que tengo un número infinito de billetes, cada uno con un número de serie único. Te doy proyecto de ley número 1.
Ahora, usted tiene dos opciones, mantener el proyecto de ley y el juego termina, o te doy 10 más billetes, pero usted tiene que quemar la numeración más baja ley. Parece evidente que la opción dos es mucho mejor. Ahora, repetimos este juego una y otra vez. Seguir recibiendo más y más dinero. Pero en el límite, cada billete se ha quemado y estás peor de lo que hubiera sido si usted acaba de tomar el billete y a la izquierda.
Como otros han señalado, no es matemático contradicción aquí. Tenemos una secuencia de conjuntos de $S_i$ con el aumento de la cardinalidad cuya intersección es el conjunto vacío; esto es perfectamente consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos.
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Sin embargo, existe un grave problema filosófico aquí. Entiendo que J. Thompson argumenta en su papel
Tareas y Super-Tareas, Análisis, XV, pp 1-13, 1954-55,
que, de hecho, hay una lógica de la contradicción en este escenario. Él llegó a la conclusión de que tales supertasks (es decir, tareas que implican hacer un número infinito de acciones en tiempo finito) no son sólo físicamente imposible , pero también lógicamente imposible.
En lugar de definiciones precisas de estos términos, a considerar, para efectos de comparación, que viajan más rápido que la velocidad de la luz. Si la teoría de la relatividad es correcta, puede muy bien ser físicamente imposible , pero no es lógicamente imposible.
Por otro lado, considere la posibilidad de un pastel que se come en la cena y que usted también no comer en la cena. Esto puede violar las leyes del universo, pero también es lógicamente imposible.
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Otros filósofos han discutido Thompson argumento, por ejemplo:
'Tareas, Super-Tareas y Moderno Eleatics', P. Benacerraf, Revista de Filosofía, LIX, pp 765-784, 1962.
Entiendo que Benacerraf aduce que no hay ninguna conexión lógica entre lo que está dentro de la caja a las 11 pm y lo que está dentro de la caja en cualquier momento antes de las 11 pm. Nuestro universo tiende a ser un "continuo", pero que no es lógicamente necesaria. Por lo tanto Benacerraf concluye que no hay ninguna razón obvia por la que supertasks son lógicamente imposibles. Creo Benacerraf de la refutación es aceptado por la mayoría de los actuales filósofos.
No he leído el original y papeles. Mi conocimiento de esto viene de el libro de las Paradojas por R. M. Sainsbury, que fue asignado a la lectura en mi primer clase de filosofía. Una buena fuente para la lectura adicional es la Supertask página de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford.
