Encuentra el posible valor de los siguientes.

Question

Encuentra el posible valor de los siguientes.

No soy capaz de terminar con una nota concreta, ya que no soy capaz de conseguir la esencia de la pregunta, todavía no está claro para mí.

$x$ , $y$ , $z$ son reales distintos, tales que $y=x(4-x)$ , $z=y(4-y)$ , $x=z(4-z)$ . Los posibles valores de $x+y+z$ es:

$$\begin{array}{l} A.\ 4 && C.\ 7 \\ B.\ 6 && D.\ 9 \end{array}$$

Answer 1

Ampliar $y$ et $z$ para obtener un polinomio en $x$ por sí mismo. $$ x = y(4-y)(4-y(4-y))=x(4-x)(x-2)^2(4-x(4-x)(x-2)^2) $$ De hecho, es más fácil si se escribe $a=x-2,b=y-2,c=z-2$ entonces las expresiones originales se convierten en $b=2-a^2$ etc. y se obtiene $$ a = 2-(2-(2-a^2)^2)^2 $$ Esto da un polinomio de grado 8 en $a$ . Dos de las raíces son números enteros que puedes encontrar por inspección. Al factorizarlas se obtiene un polinomio de grado 6 que se factoriza como dos cúbicos. Entonces, si las raíces de cada cúbico dan una solución para $(a,b,c)$ (lo hacen), entonces puedes leer su suma a partir de los coeficientes. Sin embargo, como he dicho en los comentarios, esto parece dar dos soluciones diferentes de las opciones.

Answer 2

Para entender el problema, consideré las funciones $f(x):=4x-x^2$ et $$g(x):=f\bigl(f\bigl(f(x)\bigr)\bigr)-x=63 x - 336 x^2 + 672 x^3 - 660 x^4 + 352 x^5 - 104 x^6 + 16 x^7 - x^8\ .$$ Trazado $g$ reveló 8 ceros reales de g, siendo dos de ellos $0$ et $3$ y los otros seis irracionales.

Ahora, obviamente $x=y=z=0$ con la suma $0$ et $x=y=z=3$ con la suma $9$ resolver las ecuaciones (pero no el problema). Además, los datos muestran que podemos poner $$x=0.4679111137620438,\quad y=1.6527036446661105,\quad z=3.8793852415690395$$ con la suma $6$ et $$x=0.7530203962825327,\quad y=2.445041867912943,\quad z=3.801937735808046$$ con la suma $7$ .

En conjunto, esto sugiere que las posibles sumas $x+y+z$ son $0$ , $6$ , $7$ y $9$ .

Para atacar el problema algebraicamente introducimos las funciones simétricas elementales $s_1$ , $s_2$ , $s_3$ de $x$ , $y$ , $z$ .

Sumando las tres ecuaciones se obtiene $s_1=4s_1-(s_1^2-2 s_2)$ o $$s_2=(s_1^2-3s_1)/2\ ,\qquad(1)$$ y al multiplicarlas se obtiene $$s_3=s_3(4-x)(4-y)(4-z)\ .$$ Como podemos suponer $s_3=xyz\ne0$ podemos concluir $1=64-16s_1+4s_2-s_3$ o $$s_3=63+2s_1^2-22s_1\ .\qquad(2)$$ Para obtener una tercera ecuación multiplicamos las tres ecuaciones de la forma $$y-z=(x-y)(4-x-y)$$ y dividir por $(y-z)(z-x)(x-y)\ne0$ . Por lo tanto, obtenemos $$1=(4-(x+y))(4-(y+z))(4-(z+x))\ ,$$ que se puede reescribir como $$1=64-32 s_1+4s_1^2 + 4s_2-s_1 s_2+s_3\ .\qquad(3)$$ Eliminación de $s_2$ et $s_3$ de $(3)$ por medio de $(1)$ et $(2)$ finalmente da la ecuación $${1\over2}(6-s_1)^2(7-s_1)=0$$ que tiene las soluciones encontradas numéricamente antes.

Answer 3

Componiendo las funciones, obtenemos $$ \begin{align} 0 &=x^8-16x^7+104x^6-352x^5+660x^4-672x^3+336x^2-63x\\ &=x(x-3)(x^3-7x^2+14x-7)(x^3-6x^2+9x-3)\tag{1} \end{align} $$ Las raíces $x=0$ et $x=3$ conducen a la indistinción $x$ , $y$ y $z$ .

$x^3-7x^2+14x-7$ tiene 3 raíces reales en $[0,4]$ cuya suma es $7$ (el negativo del coeficiente de $x^2$ ).

$x^3-6x^2+9x-3$ tiene 3 raíces reales en $[0,4]$ cuya suma es $6$ (el negativo del coeficiente de $x^2$ ).

$x$ , $y$ y $z$ todos satisfacen $(1)$ .

$t(4-t)$ gira las raíces de los cúbicos.

Así, los posibles valores de $x+y+z$ son $6$ et $7$ .

Answer 4

Sugerencia : Si usted grafica $y=f(x)$ frente a $x$ que es la misma función para que $z=f(y)$ et $x=f(z)$ se verá que es una parábola que se abre hacia abajo con un máximo en $(2,4)$ et $x$ -intercepta en $0$ et $4$ . A continuación, pruebe algunos valores enteros entre los interceptos y debería obtener rápidamente la respuesta.

Answer 5

Pista alternativa: buscar un punto fijo.