Encontrar todo polinomio $f(x)$ tal que $x^3-1\mid f(x)g(x)-1$

Question

Este es un problema que me ha perseguido por más de algunos días. No todo el tiempo - pero de vez en cuando y siempre en días lluviosos o ventosos, reaparece de repente en mi mente:

Encontrar todo polinomio $f(x)$, tal $f(x)\in Z[x],\deg{(f(x))}\le 2$, y existen $g(x)\in Z[x]$, tan % $ $$x^3-1\mid f(x)g(x)-1$

Tengo $f(x)=x^2,x$, tiene otra solución y cómo encontrar toda la solución?. Gracias

Answer 1

Deje $\rho = e^{2\pi i/3} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$. En $\mathbb{C}[x]$, tenemos la factorización $x^3-1 = (x-1)(x-\rho)(x-\rho^2)$, por lo que si $x^3-1 \mid f(x)g(x) - 1$, debemos tener $f(1)g(1) = f(\rho)g(\rho) = f(\rho^2)g(\rho^2) = 1$. Desde $f,g$ se asume que los polinomios con coeficientes enteros, sabemos que debemos tener $f(1) = g(1) = \pm 1$, y los valores en $\rho^k$ pertenecen al anillo de $R = \mathbb{Z}[\rho]$ de Eisenstein enteros, lo $f(\rho^k)$ debe ser una unidad en $R$. Desde el ansatz $f(x) = ax^2 + bx + c$ obtenemos las condiciones

\begin{gather} a + b + c = \pm 1, \\ a\rho^2 + b\rho + c \in R^{\times}, \\ a\rho^4 + b \rho^2 + c \in R^{\times}. \end{reunir}

Con $\rho^2 = -(1+\rho)$$\rho^4 = \rho$, que se convierte en

\begin{gather} a+b+c = \pm 1, \\ (c-a) + (b-a)\rho \in R^{\times}, \\ (c-b) + (a-b)\rho \in R^{\times}. \end{reunir}

Las unidades de$R$$1,\, 1 + \rho,\, \rho,\, -1,\, -1-\rho,\, -\rho$, por lo que debemos tener bien $a = b$ o $a - b = \pm 1$. Desde $(-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x)$, podemos ignorar el caso de $a - b = -1$.

En el caso de $a = b$, debemos tener $c-a = \pm 1$, y por lo tanto, la primera condición de los rendimientos de $a + b + c = 3a \pm 1 = \pm 1$, por lo que se deduce que el $a = 0$, y tenemos el trivial opción $f(x) = \pm 1$, $g(x) = \pm x^3$ como un posible compañero.

En el caso de $a - b = 1$, se deduce que el $c-a = -1$ o $c-a = 0$ a partir de la segunda condición, y el correspondiente $c - b = c - a + 1 = 0$ o $c - b = c - a + 1 = 1$, entonces también se cumple la tercera condición. Así que, o bien tienen $c = b$ o $c = a$ entonces. En la primera condición, $c = b = a-1$ conduce a $3a - 2 = \pm 1$, lo $a = 1$$b = c = 0$, que los rendimientos de $f(x) = x^2$. La posibilidad de $c = a$ conduce a $3a - 1 = \pm 1$, por lo tanto $a = 0$, y por lo tanto $f(x) = -x$.

Recoger los negativos que nos cayó por ignorar $a - b = -1$, la lista completa de $f \in \mathbb{Z}[x]$ $\deg f \leqslant 2$ que hay un $g \in \mathbb{Z}[x]$ $x^3 - 1 \mid f(x)g(x) - 1$ es

$$f(x) = \pm 1 \quad\text{or}\quad f(x) = \pm x \quad\text{or}\quad f(x) = \pm x^2.$$