¿Cada clase de ideal contiene un ideal primo que se divide?

Question

Suponga que tiene un campo numérico $L$ y un ideal no nulo $I$ del anillo de enteros $O$ de $L$ .

Pregunta parte A: ¿Existe un ideal primario $\mathcal{P} \subseteq O$ en la clase ideal de $I$ tal que $p =\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}$ se divide completamente en $O$ ?

Si la extensión $L/\mathbb{Q}$ es Galois creo que se puede demostrar que la respuesta es sí. De hecho, creo que es posible demostrar que para cada $I$ hay infinitamente muchos de estos $\mathcal{P}$ 's. Las herramientas necesarias para ello son la teoría del campo de clases y el teorema de la densidad de Chebotarev. Por otro lado, no estoy pidiendo infinitos primos, sólo uno. Así que para ser concretos:

Pregunta parte B: Si la respuesta a A es afirmativa, ¿es posible dar una prueba que evite mostrar que hay infinitas $\mathcal{P}$ 's?

Gracias.

Answer 1

Sí, toda clase ideal contiene un primo dividido. He aquí una posible prueba, que sin embargo no satisface las condiciones de la parte B de tu pregunta: el análogo del argumento de Dirichlet, utilizando caracteres de clase ideal, muestra que $\sum_{\mathfrak p \in [I]} N\mathfrak p^{-1}$ (la suma se realiza sobre los ideales primos de la clase de $I$ ) diverge. En cambio, la suma sobre los primos no divididos converge (porque un primo no dividido que está sobre $p$ tiene norma al menos $p^2$ y, por tanto, la suma sobre los primos no divididos está mayorada por (algunas veces constantes) $\sum_p p^{-2}$ que converge). Por lo tanto, debe haber infinitos primos divididos que contribuyan a esta suma.

Nota: Como señala el OP en un comentario más abajo, este argumento sólo se aplica en el caso de Galois, por lo que no aborda realmente la cuestión.

Answer 2

La respuesta tanto a A como a B es no. Tomemos el campo no Galois $L = \mathbb{Q} (\sqrt[4]{-5})$ y que $N = L(i)$ el cierre de Galois de $L$ . La computación con PARI/GP me dice $L$ tiene un grupo de clase cíclico de orden $4$ y $N$ tiene grupo de clase de orden $2$ . Así, el mapa $N \colon \mathrm{Cl}_N \rightarrow \mathrm{Cl}_L$ inducido por la norma relativa de los ideales no es surjetivo.

Supongamos, para llegar a una contradicción, que una de las clases de orden $4$ en $\mathrm{Cl}_L$ contiene un primo $\mathfrak{p}$ que se encuentra sobre un primo $p \in \mathbb{Z}$ que está completamente dividido en $L$ . Es bien sabido que que esto ocurre si y sólo si $p$ está completamente dividido en $N$ . Entonces $\mathfrak{p}$ es la norma de un ideal $\mathfrak{P}$ en $N$ . Pero entonces la clase de $\mathfrak{p}$ es la norma de la clase de $\mathfrak{P}$ contradiciendo el hecho de que el mapa normativo sobre las clases no es suryente.

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A es verdadera si hacemos la suposición adicional de que el cierre normal de $L$ es linealmente disjunta sobre $L$ del campo de la clase Hilbert de $L$ .

Para ver esto, dejemos $N$ sea el cierre normal de $L$ en $\mathbb{Q}$ , dejemos que $H_N$ sea el campo de clase Hilbert de $N$ y que $H_L$ sea el campo de clase Hilbert de $L$ . Debemos demostrar que para cada $\sigma \in G(H_L/L)$ existe algún ideal primo de $L$ , completamente dividido sobre $\mathbb{Q}$ y cuyo Frobenius para $H_L/L$ es $\sigma$ .

Necesitamos algunos hechos:

1. $H_N$ es Galois sobre $\mathbb{Q}$
2. $N H_L \subset H_N$

Para 1, considere una incrustación $\tau \colon H_N \hookrightarrow \overline{\mathbb{Q}}$ . Tenemos $\tau (N) = N$ Así que $\tau (H_N)$ es una extensión abeliana no ramificada de $N$ por lo que está contenida en $H_N$ De ello se desprende que $\tau(H_N) = H_N$ y la 1 sigue.

Para 2, considere un ideal primo $\tilde{\mathfrak{P}}$ en $N H_L$ que es Galois sobre $L$ . Porque $H_L/L$ es unramificado, el grupo de inercia para $\tilde{\mathfrak{P}}$ en $L$ está contenida en $G(N H_L /H_L)$ . Pero la definición de grupos de inercia también muestra que el grupo de inercia para $\tilde{\mathfrak{P}}$ en $N$ está contenida en la de $\tilde{\mathfrak{P}}$ en $L$ . Así, el grupo de inercia para $\tilde{\mathfrak{P}}$ en $N$ consiste sólo en automorfismos que fijan $N$ y $H_L$ por lo que es trivial y $N H_L/N$ no está ramificado. Como $G(N H_L/N)$ inyecta en $G(H_L/L)$ por la restricción, $N H_L/N$ es abeliana y sigue 2.

Ahora volvamos a considerar nuestro $\sigma$ en $G(H_L/L)$ . Por 1 y la suposición de que $N$ y $H_L$ son linealmente disjuntos sobre $L$ podemos levantar $\sigma$ a un automorfismo $\tilde{\sigma}$ en $G(H_N/N)$ . Por el teorema de la densidad de Chebotarev, podemos encontrar algún ideal primo $\mathfrak{P}$ en $H_N$ , no ramificado sobre $\mathbb{Q}$ y cuyo Frobenius sobre $\mathbb{Q}$ es $\tilde{\sigma}$ . El grupo de descomposición de $\mathfrak{P}$ en $\mathbb{Q}$ se encuentra, por tanto, en $G(H_L/L)$ , por lo que el primo $p = \mathfrak{P} \cap \mathbb{Z}$ está completamente dividido en $L$ .

Dejemos que $\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap N$ . Por el formalismo del símbolo de Artin, el Frobenius para $\mathfrak{P}$ en $N$ es $\tilde{\sigma}$ y su restricción a $H_L$ , a saber $\sigma$ es a su vez la imagen bajo el mapa de Artin del ideal $N_{N/L} \mathfrak{p}$ . Pero, de nuevo, porque $p$ está completamente dividido a $L$ También está completamente dividido para $N$ y así $N_{N/L} \mathfrak{p}$ es un ideal primo de $L$ con grado $1$ y Frobenius igual a $\sigma$ como se desee.