Para $x, y, z \in \mathbb{R}$ , $(x^y)^z = x^{yz}$ ?

Question

¿Es siempre cierto que para $x, y, z \in \mathbb{R}$ , $(x^y)^z = x^{yz}$ siempre que ambas expresiones estén definidas? Supongamos que todas son distintas de cero.

Creo que esto no es cierto en general, porque por ejemplo

$$-1 = (-1)^{2/2}$$

pero

$$((-1)^2)^{1/2} = 1^{1/2} = 1$$

Answer 1

La respuesta es no. El problema es que potencias fraccionarias no tienen una definición única, es decir, no son funciones de un solo valor. No tiene sentido decir el definición de $x^{1/5}$ .

Si $x$ es real y positivo, existe un único real positivo cuya quinta potencia es $x$ . También existen números complejos no reales cuya quinta potencia es $x$ y se podría decir que son mejores opciones que la versión real.

Como las raíces no tienen un único valor, debemos hacer una elección cada vez que tomamos una raíz. Para la raíz cuadrada de un número real positivo, por convención normalmente tomamos la raíz cuadrada real positiva; sin embargo, no hay convención para raíces más generales.

En el problema planteado, hay tres oportunidades para echar raíces: a través de $y$ a través de $z$ y a través de $yz$ . En función de las opciones elegidas, las dos partes pueden estar de acuerdo o no.

Answer 2

Hay dos definiciones de poderes:

• Algebraicamente, si el exponente es un número entero, utilizamos la multiplicación repetida (o sus recíprocos). Y algebraicamente también tenemos $0^0=1$ Por cierto.
• Analíticamente, $a^b=\exp(b\ln a)$ si $a>0$ .

En ambos casos, obtenemos la ley $(x^y)^z=x^{yz}$ Por ejemplo, aquí está la prueba de la definición analítica: $$(x^y)^z=\exp(z\cdot \underbrace{\ln(\exp}_{\text{cancel}}(y\ln x)))= \exp(zy\ln x))=x^{yz}.$$ Y aquí la algebraica (aquí sólo para positivos $y,z$ ): $$ (x^y)^z=\underbrace{(\underbrace{x\cdot\ldots \cdot x}_y)\cdot\ldots\cdot (\underbrace{x\cdot\ldots \cdot x}_y)}_z=\underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{yz}=x^{yz}.$$

La definición algebraica y la analítica coinciden siempre que ambas se aplican, pero mezclar ambas sin embargo no funciona y has puesto un ejemplo adecuado: $(-1)^2=1$ requiere la algebraica, $1^{\frac12}$ la definición analítica. Ni la prueba algebraica ni la analítica se aplican, por lo que no podemos concluir que $((-1)^2)^{\frac12}$ es igual a $(-1)^{2\cdot\frac12}$ .