La prueba de que los poderes de $d$-th generan la energía simétrica de $d$-ésimo de un espacio del vector

Question

Deje $V$ $\mathbb{C}$- espacio vectorial de dimensión finita. Denotar su $d$-th simétrica poder por $V^{\odot d}$. Estoy buscando una prueba de que $V^{\odot d}$ es generado por los elementos de a$v^{\odot d}$$v\in V$.

Una manera diferente de ver esto es la siguiente: Consideremos el polinomio anillo de $R=\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ $f$ un polinomio homogéneo de grado $d$: Entonces, quiero mostrar que hay lineal de los polinomios $h_1,\ldots,h_k$ tal que $f$ es una combinación lineal de las $d$-th potencias $h_i^d$.

En el caso de $d=2$, esto se deduce de la $2xy = (x+y)^2 - x^2 - y^2$. Para mayor $d$, recuerdo haber visto una prueba que implican multinomial coeficientes de una vez, pero no recuerdo los detalles. He intentado trabajar de nuevo, pero parece un poco engorroso, así que me estoy preguntando si sabes de algún libro de texto, donde este resultado queda demostrado. Si conoce a una fácil prueba, yo sería muy feliz si usted podría esbozar, aunque.

Answer 1

Sea $W$ (finito-dimensional) espacio vectorial generado por energías de $d$-th de funciones lineales en $x_1,\dots,x_n$. Que $h_1,\dots,h_d$ ser dichas funciones lineales. Considere el polinomio mapa $f:\mathbb{C}^d\to W$ de $f(t_1,\dots,t_d)=(t_1h_1+\dots+t_d h_d)^d$. Tenemos $$\frac{\partial}{\partial t_1}\cdots\frac{\partial}{\partial t_d}f=d!\;h_1\dots h_d,$ $h_1\dots h_d\in W$ $. Esto demuestra que cualquier monomio de grado $d$ $W$ y por lo tanto también más homogénea grado-$d$ polinomio.

Answer 2

En mi respuesta aquí me nota que tensores simétricos, como multilineal funcionales, descender lineal de mapas en el simétrico de alimentación de la base del espacio vectorial. Yo entonces la razón de que si se podía demostrar que $\mathrm{Sym}^n V$ es generado por $n$th poderes de los elementos de $V$ a la pregunta sobre los tensores sería entonces respondió en su forma general con decisión. He de comentar que este es formalmente equivalente a la primaria simétrica polinomios $e_n$ ser expresable como la suma de $n$th potencias de polinomios homogéneos.

Este fue el tema de mi pregunta aquí, que recibió una respuesta correcta (que contiene una prueba de la afirmación de que el usuario m_l. Fue muy combinatoria y de hecho participan multinomial coeficientes, aunque no estoy seguro de lo relacionado que está con lo que hayas visto antes. (Por desgracia, en este momento soy la única persona que ha upvoted pobres m_l.) Se requiere la característica de la base de campo de ser mayor que la potencia de $n$ en cuestión (o cero, por supuesto).