Número primo

Question

Sea$p=4k+1,$$p$ un número inicial, y$k\in\mathbb{Z}$. Demuestre la existencia del entero positivo$a_1,a_2,\ldots,a_k$ y$b_1,b_2,\ldots,b_k$. (A ^ {2} _ {1} 1) (a ^ {2} _ {2} 1) \ cdots (a ^ {2} _ {k} 1)} { (B_ {1} ^ {2} 1) (b_ {2} ^ {2} 1) \ cdots (b_ {k} ^ {2} 1)}. $$ Mi amigo tratando de probar lo siguiente durante mucho tiempo, y no puedo resolverlo, espero que pueda ayudarme. ¡Sería extremadamente feliz si alguien podría ayudarme con esto!

Answer 1

Tal vez algo como esto funciona. Hay un número entero$a_1$ tal que$a_1^2+1=pm_1$ con$m_1\lt p$. Hay un número entero$b_1$ tal que$b_1^2+1=m_1n_2$ con$n_2\lt m_1$. Hay un número entero$a_2$ con$a_2^2+1=n_2m_2$ con$m_2\lt n_2$. Etc. La secuencia$p\gt m_1\gt n_2\gt m_2\dots$ debe terminar después de como máximo$k$ de pasos (ya que cada$m_i$ y$n_i$ es 1 mod 4).