Yo no sé mucho acerca de la supersimetría, pero en ausencia de cualquier otra de las respuestas, tal vez usted se beneficiará infinitesimalmente de mis conjeturas.
Vamos a pensar en términos de un no-interacción SUSY teoría con un bosonic y un fermionic campo $S \sim \int\text d^2z\left(\partial X\bar{\partial}X - \left(\psi\bar{\partial}\psi + \bar{\psi}\partial\bar{\psi}\right)\right)$. Luego de espacio-tiempo simetrías tenemos una conserva de energía-impulso tensor $T(z) = T_{boson}(z) + T_{fermion}(z)$ (sin acoplamiento, ya que no interactúan), y la similitud de la anti-holormorphic parte. Entonces es muy natural suponer que su $G(z)$ no es nada, pero la conserva de la carga proveniente de la supersimetría (que se puede derivar a partir del teorema de Noether). Ahora, sabemos que tenemos un campo primario $\psi(z)$ (el fermión) con $h_{\psi}=\frac 12$ $j(z)=i\partial X(z)$ (el bosón) con $h_j=1$. Es natural suponer que $G(z)$ es una combinación de $\psi(z)$$j(z)$, lo que potencialmente podría hacer un campo primario con la conformación de la dimensión $h_G = h_{\psi} + h_j = \frac 32$. El $T(z)G(w)$ OPE no es sino la declaración de que $G(z)$ es un campo primario con $h_G=\frac 32$. El $G(z)G(w)$ OPE debe luego ser derivados por el uso de la OPE de $\psi(z)$ $j(z)$ junto con Mechas teorema, como de costumbre.
Para el $\mathcal N = 2$ de los casos, no tengo idea. Si son menos perezoso que yo y en realidad llevar a cabo este cálculo, por favor, escriba un comentario sobre si funciona o no.
ADVERTENCIA: el contenido de esta respuesta no es pensado y podría estar completamente equivocado.
EDIT: Respecto a por qué se $G(z)$ se llama superpartner a $T(z)$. Yo recuerdo vagamente que uno suele hacer la supersimetría en términos de superspaces y superfields. Mi conjetura sería que uno puede construir un super (campo) de energía-impulso del tensor, probablemente de la forma $\sim G(z) + \theta T(z)$, y entonces son "superpartners" en este tipo de camino.
EDIT2: @Arnirbit, en mi respuesta que supone el conocimiento de algunos aspectos básicos de la no-supersimétricas 2d CFT. En particular, la libre bosón y fermión (debo declarar a mí mismo como recién llegado a la CFT y por lo tanto no es un experto).
Ahora a sus preguntas. Principal de campo es un campo que se transforma en un particular "buen" camino bajo de conformación de las transformaciones $(z,\bar z)\rightarrow (f(z), \bar f(\bar z))$,
$$ \phi(z,\bar z) \rightarrow \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^h\left(\frac{\partial \bar f}{\partial \bar z}\right)^{\bar h} \phi\left(f(z),\bar f(z)\right),$$
donde $\phi(z,\bar z)$ es un campo primario con la conformación de peso $(h,\bar h)$. Hay una conexión entre la transformación de las propiedades de los campos y de la OPE, uno puede, por ejemplo, muestran que un campo primario de peso $(h,\bar h)$ tienen las siguientes OPE con la energía-impulso del tensor de
$$ T(z)\phi(w,\bar w) = \frac h{(z-w)^2}\phi(w,\bar w) + \frac 1{z-w}\partial_w\phi(w,\bar w) + \text{regular terms},$$
y similares para el anti-holormorphic parte (una manera de obtener esto es el uso de la sala de identidades). Esta igualdad debe, por supuesto, ser interpretada como válidos en un momento-ordenó la función de correlación. Otra de las propiedades de los campos primarios es que sus dos puntos de función es de simetría fija para ser
$$ \left<\phi(z,\bar z)\phi(w,\bar w)\right> = \frac C{(z-w)^{2h}(\bar z-\bar w)^{2\bar h}}.$$
Ahora, vamos a concentrarnos en la libre Bosonic teoría $$S[X] = T\int\text d^2z\;\partial X(z,\bar z)\bar{\partial}X(z,\bar z).$$ The equations of motion is $\parcial\bar{\partial}X(z,\barra z) = 0$, meaning that $j(z)\equiv i\partial X(z,\barra z)$ is holormorphic (depends only on $z$, not $\barra z$) and similarly for $\bar j(\bar z)\equiv i\bar{\partial}X(z,\barra z)$. One can calculate the two-point function $\left<X(z,\barra z)X(w, \bar w)\right> \propto \log\left|z-w\ \ derecho|^2$. This does not have the above form, and therefore $X(z,\barra z)$ is not a primary field! However $$\left<j(z)j(w)\right> = -\left<\partial_zX(z,\bar z)\partial_wX(w,\bar w)\right>\propto -\partial_z\partial_w\log\left|z-w\right|^2 = \frac 1{(z-w)^2}.$$ This says that $j(z)$ is a (chiral) primary field with conformal dimension $(1,0)$, with the OPE $j(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2} + \dots$ (if you like fancy words, this OPE gives you a $\mathfrak{u}(1)$ affine Kac-Moody algebra). You can calculate the energy-momentum tensor which will be of the form $T(z) = -\gamma :\partial X\partial X: = \gamma :jj:(z)$, for some appropriate constant $\gamma$ and normal ordering $:\; :$ es necesario en el nivel cuántico. El uso de Mechas teorema uno encuentra
$$ T(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2}j(w) + \frac 1{z-w}\partial_wj(w) + \text{regular terms}, $$
que de nuevo se dice que $j(z)$ ha conformación dimensiones $(h,\bar h) = (1,0)$. Un análisis similar para el libre fermión le dirá que $\psi$ es un campo primario con $(h,\bar h) = (\frac 12, 0)$ y darle la OPE $\psi(z)\psi(w) = \frac 1{z-w} + \dots$ (y lo mismo para $\bar{\psi}$).
Si usted no está familiarizado con todo esto, mi boceto rápido no será suficiente y te recomiendo consultar un libro de texto. Por último, creo que cuando se combina el libre bosonic y libre fermionic teoría en un supersimétricas manera, entonces usted puede averiguar por qué $G(z)$ con la conformación de peso $h = \frac 32$ aparece.
