Tetraedros enteros

Question

Los puntos $\{(0, 0, 0), (12, 27, 44), (48, 0, 20), (48, 0, -64)\}$

tienen la propiedad de que

1. Todos los vértices están en la cuadrícula de números enteros,
2. Todas las longitudes de las aristas son enteras y diferentes $\{51, 52, 53, 80, 84, 117\}$ ,
3. Todas las áreas de la cara son enteras y diferentes $\{1170, 1800, 1890, 2016\}$

Este es el único que he encontrado con estas propiedades. ¿Puede alguien encontrar más ejemplos que no sean similares a este tetraedro?

Answer 1

Comprueba _Los tetraedros heronianos son tetraedros reticulares_ Marshall y Perlis, 2013, The American Mathematical Monthly, 120(2), 140-149.

Los tetraedros heronianos satisfacen las restricciones más débiles de que todas las longitudes de sus aristas y las áreas de sus caras son integrales, además de la restricción adicional de que el volumen es integral. Marshall y Perlis demuestran que todos ellos pueden ser colocados para satisfacer su primera restricción, por lo que todos los tetraedros heronianos que tienen distinto Las longitudes de las aristas y las áreas de las caras satisfarán sus tres restricciones.

La prueba dada es constructiva, y la ilustran con un ejemplo: aristas $\{612, 480, 156, 185, 319, 455\}$ dar vértices $(0, 0, 0)$ , $(36, -432, 432)$ , $(36, -144, 48)$ , $(176, -264, 33)$ . Las zonas de la cara son $\{9570, 22464, 42000, 70686\}$ .

Otros ejemplos de tetraedros heronianos se recogen en el página correspondiente de MathWorld . No he comprobado cuántos de ellos tienen zonas de cara diferenciadas.

Answer 2

Hay muchos tetraedros de este tipo. En primer lugar, observe que el tercero se deduce del primero por la fórmula estándar del área (bueno, casi, ya que hay un factor $\dfrac 12$ pero esto se anula si hay suficientes coordenadas pares). Se pueden considerar entonces teraedros con vértices de la forma $(0,0,0)$ , $(m,0,0)$ , $(0,n,0)$ y $(0,0,p)$ para números enteros adecuados $m$ , $n$ y $p$ para obtener muchos ejemplos.