¿Cuál es el símbolo de un operador diferencial?

Question

Encuentro La discusión de Wikipedia de los símbolos de los operadores diferenciales un poco impenetrable, y en Google no parecen aparecer enlaces útiles, así que espero que alguien pueda indicarme una discusión más pedante.

Antecedentes

Creo que entiendo la idea básica sobre $\mathbb{R}^n$ Así que para los lectores que saben tan poco como yo, les daré algunas ideas. Cualquier operador diferencial en $\mathbb{R}^n$ es (únicamente) de la forma $\sum p_{i_1,\dotsc,i_k}(x)\frac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\dots\partial x_{i_k}}$ , donde $x_1,\dotsc,x_n$ son las funciones de coordenadas canónicas en $\mathbb{R}^n$ El $p_{i_1,\dotsc,i_k}(x)$ son funciones suaves, y la suma abarca un número finito de índices posibles (de longitud variable). Entonces la símbolo de dicho operador es $\sum p_{i_1,\dotsc,i_k}(x)\xi^{i_1}\dotso\xi^{i_k}$ , donde $\xi^1,\dotsc,\xi^n$ son nuevas variables; el símbolo es un polinomio en las variables $\{\xi^1,\dotsc,\xi^n\}$ con coeficientes en el álgebra de funciones suaves sobre $\mathbb{R}^n$ .

Bien, genial. Así que los símbolos están bien definidos para $\mathbb{R}^n$ . Pero la mayoría de los espacios no son $\mathbb{R}^n$ - la mayoría de los espacios se forman pegando copias de (conjuntos abiertos en) $\mathbb{R}^n$ a lo largo de mapas suaves. ¿Qué ocurre con los símbolos cuando cambian las coordenadas? Un cambio afín de coordenadas es un mapa $y_j(x)=a_j+\sum_jY_j^ix_i$ para algún vector $(a_1,\dotsc,a_n)$ y alguna matriz invertible $Y$ . Es sencillo describir cómo cambian los operadores diferenciales bajo dicha transformación y, por tanto, cómo se transforman sus símbolos. De hecho, se puede olvidar el hecho de que los índices oscilan $1,\dotsc,n$ y pensar en ellos como si llevaran la cuenta de la contracción tensorial; entonces todo se transforma como tensores bajo cambios de coordenadas afines, por ejemplo, las variables $\xi^i$ se transforman como coordenadas en el haz cotangente.

Por otro lado, consideremos el operador $D = \frac{\partial^2}{\partial x^2}$ en $\mathbb{R}$ con el símbolo $\xi^2$ y considerar el cambio de coordenadas $y = f(x)$ . Por la regla de la cadena, el operador $D$ se transforma en $(f'(y))^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} + f''(y) \frac{\partial}{\partial y}$ con el símbolo $(f'(y))^2\psi^2 + f''(y)\psi$ . En particular, el símbolo no se transformó como una función en el espacio cotangente. Es decir, que no entiendo dónde vive el símbolo de un operador diferencial de forma libre de coordenadas.

Por qué me importa

Una de las razones por las que me importa es porque me interesa la mecánica cuántica. Si el símbolo de un operador diferencial en un espacio $X$ fueran canónicamente una función sobre el espacio cotangente $T^\ast X$ entonces la inversa de este mapa de Símbolos determinaría una "cuantización" de las funciones sobre $T^\ast X$ correspondiente a la cuantización QP de $\mathbb{R}^n$ .

Pero la razón principal por la que estaba pensando en esto es por las álgebras de Lie. Me gustaría entender la siguiente demostración del teorema de PBW:

Dejemos que $L$ sea un álgebra de Lie sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , $G$ un grupo que integra el álgebra de Lie, $\mathrm{U}L$ el álgebra universal envolvente de $L$ y $\mathrm{S}L$ el álgebra simétrica del espacio vectorial $L$ . Entonces $\mathrm{U}L$ es naturalmente el espacio de los operadores diferenciales invariantes a la izquierda en $G$ y $\mathrm{S}L$ es naturalmente el espacio de símbolos de los operadores diferenciales invariantes a la izquierda en $G$ . Así, el mapa Symbol define un isomorfismo canónico del espacio vectorial (y de hecho del álgebra) $\mathrm{U}L\to\mathrm{S}L$ .

Answer 1

El principal símbolo de un operador diferencial $\sum_{|\alpha| \leq m} a_\alpha(x) \partial_x^\alpha$ es, por definición, la función de $\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x) (i\xi)^\alpha$ Aquí $\alpha$ es un multi-índice (por lo $\partial_x^\alpha$ denota $\alpha_1$ derivados con respecto a $x_1$, etc.) En este punto, el vector $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ es meramente formal de una variable. El poder de esta definición es que si uno la interpreta a $(x,\xi)$ como variables en el la cotangente del paquete de la forma habitual, es decir, $x$ es cualquier local de coordenadas del gráfico, a continuación, $\xi$ es el lineal de coordenadas en cada espacio de la tangente utilizando la base $dx^1, \ldots, dx^n$, a continuación, el principal símbolo es un invariantly función definida en $T^*X$ donde $X$ es el colector en el que el operador se define inicialmente, que es homogénea de grado $m$ en la cotangente variables.

Aquí está una más invariante la forma de definir: fix $(x_0,\xi_0)$ a ser cualquier punto en $T^*X$ y elegir una función $\phi(x)$, de modo que $d\phi(x_0) = \xi_0$. Si $L$ es el operador diferencial, a continuación, $L( e^{i\lambda \phi})$ es algunos complicado suma de los derivados de la $\phi$, multiplicados juntos, pero siempre con un factor común de $e^{i\lambda \phi}$. El `top pedido de parte " es el que tiene un $\lambda^m$, y si consideramos sólo esto, entonces su coeficiente tiene sólo la primera derivados de $\phi$ (de orden inferior poderes de $\lambda$ puede ser multiplicado por mayor de derivados de $\phi$). Por lo tanto, si tomamos el límite de $\lambda \to \infty$ $\lambda^{-m} L( e^{i\lambda \phi})$ y evaluar en $x = x_0$, tenemos algo que resulta ser exactamente el principal símbolo de $L$ en el punto de $(x_0, \xi_0)$.

Hay muchos motivos, el principal símbolo es útil. De hecho, hay un `mapa de cuantización' que lleva a una principal símbolo a cualquier operador de la orden correcto que tiene esto como su principal símbolo. Esto no está bien definido, pero es que si nos mod a cabo por los operadores de un orden inferior. De ahí el comentario en una respuesta anterior sobre este caso de un isomorfismo entre filtrado álgebras.

En situaciones especiales, por ejemplo, en una de Riemann colector de donde uno ha preferido coordinar gráficos (Riemann normal coordenadas), se puede definir un total de símbolo en un invariante de la moda (aunque dependiendo de la métrica). También hay otras maneras de tomar el símbolo, por ejemplo la correspondiente a la Weyl cuantización, pero esa es otra historia.

En el análisis microlocal, el símbolo de captura algunos muy fuertes propiedades del operador $L$. Por ejemplo, $L$ se llama elíptica si y sólo si el símbolo es invertible (siempre que $\xi \neq 0$). Incluso podemos hablar sobre el operario de la máquina elíptica en ciertas direcciones si el principal símbolo es nonvanishing en un abrir cono (en la $\xi$ variables), de esas direcciones. Otra historia interesante es la propagación de la onda: el conjunto de características de que el operador es el conjunto de $(x,\xi)$ donde el principal símbolo $p(L)$ se desvanece. Si su diferencial (como una función en la cotangente del paquete) es nonvanishing existe, entonces la integral de las curvas de los Hamiltonianos de flujo asociado a $p(L)$, es decir, para el campo vectorial Hamiltoniano determinado por $p(L)$ usando el estándar de la estructura simpléctica en $T^*X$, `lleva" las singularidades de soluciones de $Lu = 0$. Esta es la generalización de los clásicos del hecho de que las singularidades de las soluciones de la ecuación de onda se propagan a lo largo de los rayos de luz.

Answer 2

Los apuntes del curso del módulo D de Dragan Milicic contienen una construcción detallada del mapa de símbolos -- se pueden encontrar en su página web www.math.utah.edu/~milicic. Puede haber varias versiones enlazadas allí -- el curso de 2007-2008 debería ser el más completo. Empieza a leer en el capítulo 1, sección 5. Esto va a través de la construcción de la filtración Ben menciona, a continuación, construye el módulo graduado y mapa de símbolos explícitamente. Por supuesto, esta sección sólo cubre el caso afín (complejo) que ya describe. La generalización sin coordenadas para, digamos, variedades lisas cuasi-proyectivas sobre los números complejos se hace en el capítulo 2, sección 3. Básicamente, se observa el haz de operadores diferenciales en la variedad, se construye una filtración de grado de ese haz, y el correspondiente haz graduado es isomorfo a la imagen directa del haz de funciones regulares en el haz cotangente a través del mapa de símbolos.

En el caso de que G en tu pregunta sea un grupo algebraico, la gavilla de operadores diferenciales en G se forma localizando UL, y el pushforward de funciones regulares en el haz cotangente es la localización de SL. Entonces UL y SL pueden ser recuperados tirando de estos gajos de vuelta al elemento de identidad en G. No creo que el isomorfismo de la forma en que lo has planteado sea verdadero tal cual. Creo que el contenido de cualquier afirmación en este sentido (en lo que respecta a la demostración del teorema de PBW) probablemente tiene que ver con la construcción de la filtración por grado superior que está bien definida.

Answer 3

Creo que has entendido mal la definición de "símbolo". Sólo debes tomar el término de mayor orden en los campos vectoriales. Entonces el símbolo está bien definido. ( EDITAR : bueno, supongo que debería haber leído primero la Wikipedia. Me atengo a mi afirmación de que el mapa de símbolos uno debe considerar es el de orden principal).

Más concretamente, el mapa de símbolos no es de operadores diferenciales a funciones sobre el haz cotangente, es del gradiente asociado de operadores diferenciales para la filtración de orden a funciones sobre el haz cotangente. Así que, en operadores de orden menor que n, puedes hacer la operación que has descrito al término de mayor orden, y obtienes algo independiente de las coordenadas.

Answer 4

El autor de la pregunta original ya lo sabe, pero cualquier otra persona que esté interesada en esta cuestión debería consultar el conversación en el blog de John Baez.

Answer 5

Una manera de entender el símbolo de un operador diferencial (o, más en general, un pseudodifferential operador) es para ver lo que el operador hace a "paquetes de onda" - las funciones que están fuertemente localizados en el espacio y frecuencia.

Supongamos, por ejemplo, que uno está trabajando en $\mathbb R^n$, y uno toma una función $\psi$, que está localizada en una pequeña vecindad de un punto de $x_0$, y cuya transformada de Fourier es localizada en un pequeño barrio de $\xi_0/\hbar$, para una cierta frecuencia $\xi_0$ (o más geométricamente, creo que de $(x_0,\xi_0)$ como un elemento de la cotangente del paquete de $\mathbb R^n$). Tales funciones existen al $\hbar$ es pequeña, por ejemplo, $\psi(x) = \eta( (x-x_0)/\epsilon ) e^{i \xi_0 \cdot (x-x_0) / \hbar}$ para algunos liso de corte $\eta$, y algunos pequeños $\epsilon$ (pero no tan pequeño como $\hbar$).

Ahora aplica un diferencial operador $L$ grado $d$ a este paquete de ondas. Cuando uno hace esto (utilizando la regla de la cadena y la regla del producto según corresponda), se obtiene un montón de términos con diferentes poderes de $1/\hbar$ unido a ellos, con la parte superior de la orden término que se $1/\hbar^d$ veces una cierta cantidad $a(x_0,\xi_0)$ veces el original paquete de ondas. Este número $a(x_0,\xi_0)$ es el principal símbolo de $a$$(x_0,\xi_0)$. (El orden inferior términos están relacionados con el orden inferior de los componentes del símbolo, pero la relación exacta es repulsivo.)

Básicamente, cuando se ve en un paquete de ondas de base, (pseudo)los operadores diferenciales se diagonal a la parte superior de la orden. (Esta es la razón por la que uno tiene un pseudodifferential cálculo.) La diagonal de coeficientes son esencialmente el principal símbolo del operador. [Mientras en este tema: la transformada de Fourier integral de los operadores (FIO) son esencialmente de la diagonal de las matrices de tiempos de permutación de matrices en el paquete de onda, de manera que tienen un símbolo, así como una relación (la relación canónica de la FIO, que pasa a ser una de Lagrange submanifold de espacio de fase).]

Uno puede construir paquetes de onda arbitraria suave colectores, básicamente porque se ven planos a escalas pequeñas, y se puede definir el producto interior $\xi_0\cdot(x-x_0)$ invariantly (para reducir las correcciones de orden) en el límite asintótico al $x$ está cerca de a $x_0$ $(x_0,\xi_0)$ es en la cotangente del paquete. Esto le da una manera de definir el principal símbolo de los colectores, que por supuesto está de acuerdo con la definición estándar.