Si$\text{Var}(X) < \infty$, es$\text{Var}(XY) < \infty$ para$0 \le Y \le 1$?

Question

Tengo una variable$X$ que conozco tiene varianza finita (y por lo tanto también media finita). ¿Es siempre cierto que su varianza permanece finita después de la escala por$0 \le Y \le 1$?

Tenga en cuenta que$X$ y$Y$ no son necesariamente independientes.

Edit: Creo que el "peor caso"$Y$ es$0$ siempre que$X < c$ y$1$ siempre$X \ge c$ Caso reflejado)?

Answer 1

No he aceptado la respuesta de kjetil, ya que, como se señaló en los comentarios, asume que$X$ y$Y$ son independientes.

La siguiente respuesta debería funcionar cuando$X$ y$Y$ dependen, usando la sugerencia de whuber:

\begin{align} \text{Var}(XY) &= E((XY)^2) - E(XY)^2 \\ &\le E(X^2Y^2) \\ &\le E(X^2)\sup(Y^2) \\ &= E(X^2) \\ &= \text{Var}(X) + E(X)^2 \\ &< \infty \end{align}

Tenga en cuenta que el resultado también se aplica a cualquier$Y$ limitado (ya que$\sup(Y^2)$ será finito).

Answer 2

Necesita usar la fórmula $$ \ DeclareMathOperator {\ Var} {\ mathbb {V}} \ DeclareMathOperator {\ E} {\ mathbb {E}} \ Var (XY) = \ E (\ Var (XY | Y) ) \ Var (\ E (XY | Y)) $$ donde$\Var $ es el operador de la varianza. Tome el término para término, escriba$\mu=\E X, \sigma^2=\Var X$,$\E (XY | Y= y) = \E (yX) = y \E (X) =\mu y$ con varianza (sobre$Y$)$\Var (\mu Y) $ que es finito ya que$Y$ está limitado.

Entonces el otro término,$\Var (XY | Y=y) = \Var (yX) = y^2 \Var (X) = \sigma^2 y^2$ que otra vez tiene una expectativa finita ya que$Y$ está limitado. Así que la respuesta es sí.