Zaraki quiere usar$8$ perlas rojas indistinguibles y$32$ perlas azules indistinguibles para hacer un collar de manera que haya al menos$2$ cuentas azules entre cualquier$2$ cuentas rojas. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
Parte de mí, mi solución es$30667$ y mi resultado proviene de este cálculo$$\frac{\binom{23}{7}- \binom{11}{3}}{8}+ \frac{\binom{11}{3}-\binom{5}{1}}{4}+\frac{\binom 51-1}{2}+1=30667.$ $ ¿Es mi solución verdadera?
Podemos considerar el collar compuesto de $24$ artículos, RBB ocho veces y B dieciséis veces. Si la rotación de un collar de cuentas como la misma disposición, pero la reflexión no entonces podemos usar la órbita de contar en el grupo de $24$ rotaciones, catalogó a continuación. $$\matriz{ \hbox{fin de}&24&12&8&6&4&3&2&1\cr \hbox{número}&8&4&4&2&2&2&1&1\cr \hbox{puntos fijos}&0&0&C(3,1)&0&C(6,2)&0&C(12,4) Y C(24,8)\cr}$$ El número de arreglos es el número promedio de puntos fijos $$\frac{4C(3,1)+2C(6,2)+C(12,4)+C(24,8)}{24}=30667\ .$$
Puede ser de interés para relacionar este problema para el ciclo de índices y la Polya Enumeración Teorema (PET). Suponga que la distribución de los ocho roja perlas en el collar de la primera. A continuación nos distribuir dos perlas azules en cada espacio entre dos cuentas rojas, dejando $32-2\times 8 = 16$ azul las perlas. El problema ahora se convierte en equivalente para la distribución de la restante $16$ cuentas azules en las ocho ranuras en virtud de la rotación o rotación y reflexión.
Para calcular el recuento bajo rotaciones necesitamos el ciclo de índice $Z(C_8)$ de los cíclicos grupo de ocho elementos. Ahora podemos enumerar los permutaciones en este ciclo de índice. No es la identidad, que contribuye $a_1^8$. Una rotación por una distancia de cuatro mapas opuesto las ranuras a cada uno de los otros y crea dos ciclos, dando a $a_2^4.$ Una rotación por una distancia de dos o seis crea cuatro ciclos, dando $2\times a_4^2.$ A rotation by a distance of $1,3,5$ or $7$ crea ocho ciclos de dar $4\times a_8.$
Esto le da el ciclo del índice $$Z(C_8) = \frac{1}{8} (a_1^8 + a_2^4 + 2 a_4^2 + 4 a_8).$$
El valor deseado se da por $$[z^{16}] Z(C_8)\left(\frac{1}{1-z}\right).$$ Este es $$\frac{1}{8} \left([z^{16}] \left(\frac{1}{1-z}\right)^8 + [z^{16}] \left(\frac{1}{1-z^2}\right)^4 + 2 [z^{16}] \left(\frac{1}{1-z^4}\right)^2 + 4 [z^{16}] \left(\frac{1}{1-z^8}\right)\right).$$ que los rendimientos de $$\frac{1}{8} \left({16+7\elegir 7} + {8+3\elegir 3} + 2{4+1\elegir 1} + 4{2+0\elegir 0}\right) = 30667.$$
Cuando reflejos se incluyen hemos diedro simetría y necesitamos el ciclo de índice $Z(D_8)$ de los diedros grupo de ocho elementos. El adicional permutaciones son cuatro reflexiones en torno a un eje que pasa a través del punto medio de los bordes opuestos de conectar dos ranuras, dando $4\times a_2^4$ y cuatro reflexiones en torno a un eje que pasa a través de dos frente ranuras de dar $4\times a_1^2 a_2^3.$ por lo tanto el ciclo de índice
$A$Z(D_8) = \frac{1}{2} Z(C_8) + \frac{1}{16} (4 a_2^4 + 4 a_1^2 a_2^3).$$
Esto produce durante dieciséis cuentas azules el recuento $$\frac{1}{2} 30667 + \frac{1}{16} \left(4 [z^{16}] \left(\frac{1}{1-z^2}\right)^4 + 4 [z^{16}] \left(\frac{1}{1-z}\right)^2 \left(\frac{1}{1-z^2}\right)^3 \right)$$ que es $$\frac{1}{2} 30667 + \frac{1}{16} \left(4 {8+3\elegir 3} + 4 \sum_{q=0}^8 {q+2\elegir 2} {16-2t+1\quieras1} \right) = 15581.$$
Las secuencias OEIS A032193 y OEIS A005514 son relevantes aquí.
Observación. También podemos aplicar Burnside directamente al ciclo de los índices de y bypass MASCOTA. E. g. para una permutación de tipo de ciclo $a_2^4$ a solucionar la asignación de los cuatro ciclos es necesario que nos elija un número de $q$ de los granos azules para cada una de las cuatro de dos ciclos y, a continuación, coloque el doble de ese número $q$ de las cuentas, el cuatro de dos ciclos con $q$ perlas en cada una de las dos ranuras en dos ciclos.
La elección de un par de generación de función $$\frac{1}{1-z^2}$$ y la contribución total es
$$[z^{16}] \frac{1}{1-z^2} \frac{1}{1-z^2} \frac{1}{1-z^2} \frac{1}{1-z^2}.$$
De manera similar, una asignación para una permutación de tipo de ciclo $a_4^2$ que es fijado por esta forma de permutación significa que tenemos que elegir un número de $q$ de los granos azules para cada uno de los dos ciclos y, a continuación, coloque cuatro veces ese número en cada ciclo de con $q$ cuentas en cada uno de los ranuras en el ciclo de cuatro. Esto le da
$$[z^{16}] \frac{1}{1-z^4} \frac{1}{1-z^4}.$$
Esto puede ser continuado y esencialmente es el mecanismo por el cual la MASCOTA se demostró a partir de Burnside.
Hay muchos más enlaces relacionados en MSE Meta en Burnside/Polya.
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