Un límite inusual que implica $e$

Question

Desde MathWorld Tengo la siguiente cita:

$e$ está dada por el límite inusual $$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{(n + 1)^{n + 1}}{n^{n}} - \frac{n^{n}}{(n - 1)^{n - 1}}\right) = e\tag{1}$$ Ahora bien, si ponemos $$a_{n} = \frac{(n + 1)^{n + 1}}{n^{n}}$$ entonces el resultado anterior dice que $$\lim_{n \to \infty}(a_{n} - a_{n - 1}) = e$$ Ahora sabemos que

Teorema: Si $a_{n} - a_{n - 1} \to L$ entonces $a_{n}/n \to L$ .

Utilizando el ejemplo, vemos que $$\frac{a_{n}}{n} = \frac{n + 1}{n}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \to e$$ Estoy pensando en alguna conversión parcial del teorema estándar anterior que nos puede llevar de límite de $a_{n}/n$ al límite de $a_{n} - a_{n - 1}$ .

Otra opción para probar $(1)$ es hacer uso de la teoría de las variables reales. Así podemos poner $x = 1/n$ y tratar con la función $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)(1 + x)^{1/x}$ y utilizar la expansión de Taylor $$(1 + x)^{1/x} = e - \frac{ex}{2} + \frac{11e}{24}x^{2} + \cdots$$ y $$g(x) = \left(\frac{1}{x} - 1\right)(1 - x)^{-1/x}$$ y calcular el límite de $f(x) - g(x)$ como $x \to 0$ . De esta manera vemos que $$f(x) = \frac{e}{2} + \frac{e}{x} + o(1), g(x) = -\frac{e}{2} + \frac{e}{x} + o(1)$$ y claramente $f(x) - g(x) \to e$ como $x \to 0$ .

¿Existe una demostración sin utilizar la teoría de las variables reales y que se limite a los teoremas sobre secuencias que establezca el resultado $(1)$ ?

Answer 1

Para $n > 1$ podemos escribir

$$a_n - a_{n-1} = \biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \biggl(n+1 - (n-1)\frac{n^{2n}}{(n^2-1)^n}\biggr).\tag{1}$$

La desigualdad de Bernoulli dice por un lado que

$$\frac{n^{2n}}{(n^2-1)^n} = \biggl(1 + \frac{1}{n^2-1}\biggr)^n \geqslant 1 + \frac{n}{n^2-1},$$

así que

$$n+1 - (n-1)\frac{n^{2n}}{(n^2-1)^n} \leqslant 2 - \frac{n}{n+1} = 1+ \frac{1}{n+1},$$

y por otro lado dice

$$\frac{n^{2n}}{(n^2-1)^n} = \frac{1}{\Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr)^n} \leqslant \frac{1}{1-\frac{1}{n}} = \frac{n}{n-1},$$

de donde

$$n+1 - (n-1)\frac{n^{2n}}{(n^2-1)^n} \geqslant (n+1) - n = 1.$$

Dado que el primer factor de $(1)$ converge a $e$ y el segundo a $1$ como acabamos de ver, se deduce que $a_n - a_{n-1} \to e.$

Answer 2

Dado que: $$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} &=& (n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\end{eqnarray*} $$ tenemos $ ne\leq a_n\leq (n+1)e$ por la desigualdad de Bernoulli, por lo que $b_n=a_n-a_{n-1}$ es no negativo y está acotado por $2e$ . Si conseguimos demostrar que $\{b_n\}$ es una secuencia decreciente, entonces $\{b_n\}$ es una secuencia convergente (a su infimo). Si $b_n$ es convergente, entonces: $$ \lim_{n\to +\infty}b_n = \lim_{n\to +\infty}\frac{b_1+b_2+\ldots+b_n}{n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{a_n-a_0}{n}=e$$ por Teorema de Cesàro . Así que sólo tienes que demostrar que $\{a_n\}$ es una secuencia cóncava para demostrar tu afirmación.

Por ejemplo, eso se deduce de: $$\frac{d^2 a_n}{dn^2} = \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}\left[-1+n(n+1)\log^2\left(1+\frac{1}{n}\right)\right].$$