Suma de la secuencia con cuadrados de números de Fibonacci en el denominador

Question

Encontrar la suma de esta secuencia: $$\frac{1}{1^2+1}-\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2+1}-\frac{1}{5^2-1}+\frac{1}{8^2+1}-...$ $

Así, alternando series, sino tenemos nada. Me trató de reagrupar por pares y me $$\frac{1}{6}+\frac{7}{120}+\frac{103}{10920}$ $, que me ayudó a ninguno.

Answer 1

Nota: la mayoría de esto es la identidad $$ F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n $ $, que es cómo yo lo vi el telescopio de dos partes.

Es de la parte de $+$ $$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 34} + $ $

Do por separado las partes de $\pm$. Las sumas parciales de la $+$ parte son $$ \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{8}{13}, \frac{21}{34}, \cdots $ $, que son cocientes de números de Fibonacci.

Es de la parte de $-$ $$ \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 21} + \frac{1}{21 \cdot 55} + $ $

Pruebe esto para las piezas de $-$. $$ \frac{1}{3}, \frac{3}{8}, \frac{8}{21}, \frac{21}{55}, \cdots $ $ Necesita un poco de precisión para obtener el límite de la diferencia.

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