$(f(x))^2=f(2x)+2f(x)-2$ Ecuación funcional

Question

$f$ es una función en números verdaderos: $$f(x)^2=f(2x)+2f(x)-2$$ and $% $ $f(1)=3$

¿Cuál es el valor de $f(6)$?

Encontrar una solución de $f(x)=2^x+1$. ¿Pero, no sé que más soluciones?

Answer 1

Echemos un vistazo a $g(x)=f(x)-1$. Entonces $$ f (x) ^ 2-2f (x) + 1 = f(2x)-1\\ g(x)^2=g(2x)$ $ hay infinitamente muchas soluciones, incluso continua.

Saber $f(x)$ nos da $f(2x)$, entonces el $f(4x)$ y así sucesivamente, pero nada más.

Desde $6$ no es una potencia de $2$ veces $1$, puede hacer $f(6)$ lo que quieras.

Answer 2

$f(6)=65$ no es la única solución
Definir f como sigue:
$f(x)=2^x+1$, $x=2^n$ o $x=\frac{1}{2^n}$ $n\in \mathbb{N}$ y el 1 lo contrario.
De manera similar se puede definir para ser 2 de otra manera.

Answer 3

La forma es poner esta pregunta, hay una relación satisfacerse entre $f(x)$ y $f(y)$ sólo si $$\frac{x}{y}=2^n$$ for some $ n\in\mathbb{Z}$. In particular, the numbers $f(1)$ and $f(6)$ have nothing to do with one another, and you can choose $f(6)$ lo que quieras.

Answer 4

Si escribimos $f(x) = g(x)+1$, simplifica la ecuación funcional $$ g(2x) = g(x)^2$ % $ $g(2x)$debe ser no negativo si quieres valores reales, pero de lo contrario $g(x)$ puede ser arbitraria en, digamos, $(-2,1] \cup [1,2)$, $g(2^n x) = g(x)^{2^n}$ $n$ de números enteros. En particular, $f(6)$ no se determina por $f(1)$.