Encontré algunas métricas definidas hoy por $ ds ^ 2 = - \left (1 - \frac{2GM}{r} \right) dv ^ 2 + (dv dr + dr dv) + r ^ 2 d \Omega^2 $$
En toda la educación que he hecho hasta ahora $$dv dr = dr dv.$ $ ¿por qué esto ya no es el caso? Sospecho que esto tiene algo que ver con tensores, pero no estoy seguro por qué.
Más en general, un tensor métrico $$g \in \Gamma\left( {\rm Sym}^2(T^{\ast}M)\right)$$ es una sección en la simétrico producto tensor $${\rm Sym}^2(T^{\ast}M)~=~T^{\ast}M\odot T^{\ast}M$$ sobre la cotangente del paquete de $T^{\ast}M$. En otras palabras, $g$ es simétrica $(0,2)$ covariante del tensor de campo.
En un gráfico de coordenadas $U\subseteq M$, toma la forma $$g|_U ~=~ g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu},$$ con el manifiesto de la regla $$ \mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}~=~\mathrm{d}x^{\nu}\odot \mathrm{d}x^{\mu}, $$ cf. OP de la pregunta.
Es la métrica de Eddington-Finkelstein (una de las formas) y de hecho puede escribirse como:
$$ ds^2 = - \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) dv^2 + 2dv dr + r^2 d \Omega^2 $$
Por qué su libro no escribe así que no sé - tienes que pedir al autor.
Este es el Eddington-Finkelstein métricas para una geometría de Schwarzschild, y los diferenciales de hacer el viaje. Creo que poner el elemento línea en este formulario con el fin de resaltar el que las componentes de la métrica son
$$g_{vv}=\left(1-\frac{2GM}{r}\right),\hspace{0.5cm}\,g_{vr}=g_{rv}=-1$$ $$g_{\theta\theta}=-r^2,\hspace{0.5cm}g_{\phi\phi}=-\sin^2{\theta}$$
(Tenga en cuenta que estoy usando un $(+,-,-,-)$ firma.) Si este es un texto introductorio, el autor puede haber hecho esto para mostrar que los elementos de la diagonal de la métrica tiene que ser reducido a la mitad cuando se lea fuera de la línea de elemento.
Espero que esto ayude!
Otra manera de pensar acerca de esto:
En general, los tensores con "abajo" los índices son los mapas del espacio de vectores${}^{1}$ en el espacio de las funciones. Así, un tensor $\bf T$ es una función que toma dos vectores y escupe un número real, y se puede pensar en el "índice" libre de manera que:
$${\bf T}\left({\vec v_{1}}, {\vec v_{2}}\right) = f(x^{a})$$
También hay una restricción mayor en $T$: es multilineal en ambos de sus coordenadas. Por lo tanto, si usted multiplica cualquiera de vector por un escalar, se multiplican $f$ por el mismo escalar; y si reemplazar cualquiera de vector por una suma de otros dos vectores, el resultado es la suma del tensor de actuar sobre los vectores individuales. Esto obliga a $T$ a ser representable como una matriz, lo que nos lleva a la conocida notación:
$$f(x^{c}) = v_{1}^{a}T_{ab}v_{2}^{b}$$
Ahora, es obvio que el ${\bf T}$ puede, en principio, actuar de manera diferente en $v_{1}$$v_{2}$, y esto sucede si $T_{ab}$ no es simétrica.
Ahora bien, ¿qué tiene que ver esto con los diferenciales? Bien, recuerda que podemos expresar de la base del espacio vectorial con derivadas parciales, de manera que:
$${\vec v} = v^{a}\frac{\partial}{\partial x^{a}}$$
lo que hace que $\vec v$ que actúa sobre una función de $f$ la derivada direccional de $f$ a lo largo de $\vec v$. Así, las derivadas parciales son la base de nuestra "arriba" espacio de los vectores. ¿Cuál es la base de la "abajo" espacio de los vectores? Bien, necesitamos algo que tiene un índice, vamos a llamar a $e^{a}$, también necesitamos:
$$\frac{\partial}{\partial x^{a}}e^{b} = \delta^{b}{}_{a}$$
Así, si elegimos $e^{a} = dx^{a}$, esto se debe obviamente cierto. Así que, como podemos expresar:
$${\vec v} = v^{a}\frac{\partial}{\partial x^{a}}$$
también podemos expresar:
$${\bf T} = T_{ab}dx^{a}dx^{b}$$
Y la única manera en que podemos también tienen un $\bf T$ que actúa de forma diferente en su primer y segundo argumento es que si podemos también ha $dx^{a}dx^{b} \neq dx^{b}dx^{a}$ al $a \neq b$
Por último, tenga en cuenta que mucho de esto es discutible, porque la métrica de los tensores están definidos para ser simétrico: la basal requisito para un producto escalar es que ${\vec v} \cdot {\vec w} = {\vec w} \cdot {\vec v} = g_{ab}v^{a}w^{b} = g_{ab}w^{a}v^{b}$
${}^{1}$ Sí, sé que estamos hablando de campos vectoriales y tensoriales campos, en lugar de vectores y tensores, pero no vamos a complicar esta haciendo esa distinción a la derecha ahora.
Escrito de forma explícita (ver este artículo de la Wikipedia):
$$v=t+r^{*}$$
$$dr^{*}=(1-{\frac {2GM} r})^{-1}dr$$
así
$$dv=dt+dr^{*}=dt+(1-{\frac {2GM} r})^{-1}dr$$
Entonces
$$dvdr=(dt+(1-{\frac{2GM} r})^{-1}dr)dr=dtdr+(1-{\frac{2GM}{r}})^{-1}d^2r$$
y$$drdv=dr(dt+(1-{\frac{2GM} r})^{-1}dr)=drdt+(1-{\frac{2GM} r})^{-1}dr^2$$
que son iguales porque los incrementos infinitesimales $dr$ $dt$ son infinitesimales incrementos en el número y $r$ es un número demasiado.
Por lo $$dvdr=drdv$$
cual es la razón por la medida en que el artículo tiene un $2dvdr$ plazo.
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