¿Cómo calcular este determinante?

Question

¿Cómo calcular este determinante?

A =\begin{bmatrix}n-1&k&k&k&\ldots& k\\k&n-1&k&k&\ldots &k\\\ldots&\ldots&\ldots &&\ldots\\\\k&k&k&k&\ldots &n-1\\ \end{bmatrix} _ {n n\times} de $$$ $

donde $n,k\in \Bbb N$ son fijos.

He intentado $n=3$ y tiene la característica polinomial como $(x-2-k)^2(x-2+2k).$

¿Cómo encontrar general $n\in \Bbb N$?

Answer 1

Aquí he seguido el mismo paso inicial como K. Miller. En lugar de utilizar un factor determinante de la identidad examino los autovalores $A$ y consideran que su producto.

Si $J$ indica el $n\times n$ matriz de todas las $1$'s, entonces los autovalores de a $J$ $0$ con multiplicidad $n-1$ $n$ con multiplicidad $1$. Esto puede observarse teniendo en cuenta que el $J$ $n-1$ dimensiones del núcleo y traza $n$.

Su matriz $A$ es exactamente $kJ+(n-k-1)I$ donde $I$ indica el $n\times n$ matriz identidad. Los autovalores de a $A$ por lo tanto $n-k-1$ con multiplicidad $n-1$ $nk+n-k-1$ con multiplicidad $1$. El determinante de a $A$ luego $(nk+n-k-1)(n-k-1)^{n-1}$.

Answer 2

Puede escribir $A = (n-k-1)I + kee^T$, donde $e$ $n$-vector de todos los. Ahora utiliza el lema determinante de matriz que establece que

$ \det (B + uv ^ T) = (1 + v^TB^{-1}u)\det(B) $$

$B$ una matriz cuadrada invertible. Aplicando este resultado a $A$, nos encontramos con que

$ \det(A) = (n - k - 1) ^ n\left(1 + \frac{kn}{n-k-1}\right) = (n-1)(k+1) (n-k-1) ^ {n-1}. $$

Answer 3

Este es otro método utilizando solamente manipulación de filas y columnas. Menos inteligente que anteriores respuestas pero menos exigente en conocimientos previos.

Primero vamos a sustituir la primera columna por la suma de todas las columnas: $$\begin{bmatrix}n-1&k&\ldots& k\\k&n-1&\ldots &k\\\ldots&\ldots&\ldots &\ldots\\\\k&k&\ldots &n-1\\ \end{bmatrix} = \left (n-1 + (n-1) \cdot k \right)\begin{bmatrix}1&k&k&\ldots &k\\ 1&n-1&k&\ldots &k\\ \ldots&\ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\ \\1&k&k&\ldots &n-1\\ \end{bmatrix} $$ ahora vamos a restar la primera fila de todos los otros. Sigue siendo: $$ (n-1) (k + 1)\begin{bmatrix}1&k&k&\ldots &k\\ 0&n-1-k&0&\ldots &0\\ \ldots&\ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\ \\0&0&0&\ldots &n-1-k\\ \end{bmatrix} = (n-1) (k + 1) (n-1-k) ^ {n-1} $$