Cálculo de una suma que involucra la función del piso

Question

Si $n$ es un número natural y $x$ es un número real, para calcular la suma

$$\sum_{0 \leqslant i < j\leqslant n}\left\lfloor \frac{x + i}{j}\right\rfloor$$

He intentado sustituir algunos números para tratar de ver un patrón, pero no parecen conseguir en cualquier lugar. Creo que la solución del problema implicaría el uso de la identidad de Hermite (como que se parecen bastante).

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Mira la diferencia entre sumas de $n$ y $n-1$ términos. Es bastante trivial una vez que puede ver y encontrar el patrón.

(LEER ABAJO ESTA SI USTED DESEA PARA TRATAR DE SOLUCIONARLO USTED MISMO OTRA VEZ CON ESTA PISTA)

Aquí le damos una solución

Que la suma sea $S_n$. Mirando la diferencia entre las sumas:

$$S_n - S_{n-1} = \Bigl\lfloor \frac{x}{n}\Bigr\rfloor + \Bigl\lfloor \frac{x+1}{n}\Bigr\rfloor+...+\Bigl\lfloor \frac{x+n-1}{n}\Bigr\rfloor$$

$$ = \Bigl\lfloor \frac{x}{n} \Bigr\rfloor + \Bigl\lfloor \frac{x}{n} + \frac{1}{n}\Bigr\rfloor + ... + \Bigl\lfloor \frac{x}{n} + \frac{n-1}{n}\Bigr\rfloor$$

y, por identidad de Hermite,

$$S_n - S_{n-1} = \Bigl\lfloor n\frac{x}{n} \Bigr\rfloor = \Bigl\lfloor x \Bigr\rfloor$$

$S_1 = \Bigl\lfloor x \Bigr\rfloor$, Se deduce que $S_n = n\Bigl\lfloor x \Bigr\rfloor$ % todos $n \geqslant 1$.