¿Dado un $x$ y un $Y$ del subspace cerrado de un espacio normado, debe la distancia de $x$ $Y$ lograrse un $y\in Y$?

Question

Creo que no. Y estoy en busca de ejemplos. Me gustaría una secuencia $y_n$ $Y$ tal que $||y_n-x||\rightarrow d(x,Y)$ $y_n$ no convergen.

¿Alguien puede dar una prueba o un contraejemplo a esta pregunta?

Answer 1

Esta es una pequeña adaptación de bastante estándar, un ejemplo.

Deje $\phi: C[0,1]\to \mathbb{R}$ ser dado por $\phi(f)=\int_0^{\frac{1}{2}} f(t)dt - \int_{\frac{1}{2}}^1 f(t)dt$. Deje $Y_\alpha = \phi^{-1}\{\alpha\}$. Desde $\phi$ es continua, $Y_\alpha$ está cerrado por cualquier $\alpha$.

Ahora vamos a $\hat{f}(t) = 4t$ y el aviso de que $\phi(\hat{f}) = -1$ (en realidad, cualquier $\hat{f}$ tal que $\phi(\hat{f}) = -1$ va a hacer). Entonces $$\inf_{f \in Y_0} \|\hat{f}-f\| = \inf \{ \|g\|\, | \, g+\hat{f} \in Y_0 \} = \inf \{ \|g\|\, | \, \phi(g) =1 \} = \inf_{g \in Y_1} \|g\|$$ Está claro que $g_n$ es un infimizing secuencia para el último problema iff $g_n+\hat{f}$ es un infimizing secuencia para el problema inicial.

Es bien sabido que $Y_1$ no tiene ningún elemento de mínima norma, consecuentemente, no es $f \in Y_0$ que mnimizes $\|f-\hat{f}\|$.